Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Экономика arrow Исследование операций в экономике

Структура эффективного фронта

В предыдущем параграфе была решена задача оптимизации для каждого конкретного значения угла наклона касательной к эффективному фронту. Для восстановления всей структуры фронта мы докажем, что функции x*(k) являются кусочно-линейными и, следовательно, достаточно решить задачу для тех значений k, для которых эти функции имеют излом. Такие точки называются угловыми. Дадим строгое определение таких точек. Для этого нам потребуется теорема Куна – Таккера, которую мы сразу сформулируем в применении к нашей задаче.

Рассматривается задача квадратичного программирования

(16.14)

при ограничениях

где– положительно определенная симметрическая матрица.

Функция Лагранжа имеет вид

Теорема Куна – Таккера. N-мерный вектор х тогда и только тогда является решением задачи (16.14), когда существует т-мерный вектор λ, удовлетворяющий условиям

(16.15)

Обозначимрешение задачи (16.14) для конкретного значения к. Разделим индексыследующим

образом: индекс ∕называется внутренним, если выполняется условие, и внешним, если выполняется условие

Назовем точку к неугловой, если существует значение ε, такое, что в интервале () внутренние и внешние индексы одни и те же для всех значений к. В противном случае точку к0 назовем угловой. При переходе через угловую точку меняется структура оптимального портфеля – какие-то активы удаляются из него или добавляются в него.

Теорема. Если на промежуткенет угловых точек, функцииявляются линейными на этом промежутке.

Для доказательства достаточно записать условия теоремы Куно – Таккера в виде системы линейных уравнений с матрицей коэффициентов, не зависящей от ⅜, и столбцом свободных членов, линейно зависящих от к. Тогда утверждение теоремы будет следовать из хорошо известных фактов линейной алгебры.

Таким образом, на промежутке, не содержащем угловых точек, решение задачи (16.14) имеет вид

(16.16)

Следовательно, для восстановления всей структуры эффективного фронта достаточно найти угловые точки.

Метод критических линий

Пусть k – не угловая точка и найдено решение х{к) вида (16.16). Метод критических линий Марковица основан на очень простой идее. Определим числа а, b следующим образом: а – левая, а b – правая граница интервала значений, для которых выполняются неравенства для всех внутренних индексов /,

для всех внешних индексов i.

Тогда а и b – угловые точки. Если соответствующего значения а нс существует, следует положить а = 0.

Таким образом, можно найти все угловые точки, если их число конечно. Для осуществления этой процедуры разработаны различные числовые алгоритмы.

Рассмотрим для иллюстрации простой модельный пример. Пусть на рынке присутствует три актива, при этом вектор доходностей и матрица ковариаций имеют следующий вид:

Функция Лагранжа имеет вид

Взяв для исходного значения ⅛ = 0,1, получим следующее решение

(все индексы внутренние). Используя метод критических линий, получаем угловую точку k = 0,2. При переходе через эту точку меняется структура портфеля, из него удаляется третий актив, и третий индекс становится внешним. Выбрав значение k = 0,3, получаем решение

Следующая угловая точка. Прирешение имеет вид

Отметим, что эффективный фронт (граница множества допустимых портфелей) не имеет изломов в угловых точках, хотя его функциональный вид меняется. Он состоит из двух различных гипербол и одной граничной точки. Излом эффективного фронта имеет место в том случае, если функции Xj постоянны на промежутке между угловыми точками.

В общем случае эффективный фронт может состоять из гипербол и отрезков прямых.

 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы