Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Страховое дело arrow Актуарные расчеты

Расчет рисковой премии

Основное правило расчета рисковой премии (РП) – соблюдение принципа эквивалентности финансовых обязательств страховщика и страхователя. Как уже было отмечено, согласно закону больших чисел – фундаментальному закону страхования, рисковая премия исчисляется как ожидаемый размер ущерба (математическое ожидание ущерба), если ущерб (выплаты страховщика) Y не зависит от момента времени t, когда произошел страховой случай:

(2.3)

Страхователь и страховщик несут каждый свои риски (рис. 2.5)[1].

Риск страхователя заключается в том, что если страховой случай не произойдет, то страховые взносы не вернутся страхователю, он заплатит только за свое спокойствие.

Риски страховщика и страхователя

Рис. 2.5. Риски страховщика и страхователя

Риск страховщика состоит в том, что если страховой случай произошел, то он обязан заплатить сумму, значительно превышающую размер страхового взноса.

Конкретного клиента страховой компании интересует только его собственный договор, т.е. индивидуальный риск.

Рассмотрим для начала наиболее простой случай фиксированного ущерба. Для отдельного клиента страховой случай может наступить с вероятностью р либо не наступить с вероятностью q = 1 – р.

Страхователь рискует премией П с вероятностью (1 – р), а страховщик рискует разницей между страховой суммой и полученной премией (5 – П) с вероятностью р. Поэтому основной принцип страхования – принцип эквивалентности сторон (при отсутствии индексации) приводит к уравнению

(S-П)•р = (1-р)•П,

откуда получаем, что премия равна: П = Sр.

Правую часть этой формулы мы получали ранее в примере 1.1 как математическое ожидание риска страховщика.

Для определения соответствия между страховым возмещением и размером страховой премии (условиями договора) необходимо, согласно принципу эквивалентности, приравнять риски страховщика и страхователя с учетом вероятности наступления страхового случая и величины убытков от него (см. рис. 2.5).

Но на практике, если страховая сумма S очень велика, понятно, что взимание премии П = S • р может привести к банкротству, премия за страхование риска не является однородной, т.е. не пропорциональна риску[2]. Этим и обусловлена необходимость формирования рисковой надбавки. А такая премия называется рисковой (определяется риском) и является лишь составляющей всей страховой премии.

Страховую компанию интересует не отдельный договор и наступление страхового случая в нем, а общее количество случаев для всего портфеля и сумма всех выплат, т.е. коллективный риск по всему портфелю. Все п страхователей внесут в виде премий по РП, в среднем следует ожидать п-р страховых случаев, в каждом из которых придется выплатить возмещение 5:

или

Таким образом, рисковая премия не зависит от количества договоров в портфеле и будет одинаковой по определенному риску для страховых компаний с большим и малым количеством договоров в портфеле.

Убытки, как уже отмечалось, могут быть фиксированными или распределенными.

Размер убытка может быть случайным (переменным) – в случае пожара, стихийных бедствий, аварии, нанесения ущерба третьим лицам и др. В этом случае ущерб является распределенным.

В случае распределенного ущерба для актуария возникает дополнительная задача – оценка вероятности того, что ущерб составит определенную сумму (будет в определенных пределах).

Если А – случайное событие (наступление страхового случая), а В, – случайные события, заключающиеся в том, что ущерб составит X,•, то актуария интересует условная вероятность события В-А, т.е. условное распределение случайного ущерба при наступлении страхового случая. Кроме того, актуария интересует еще и фактор времени, когда произойдет событие А, потому что от этого зависит размер полученных им от страхователя взносов к этому моменту. Следовательно, имеет место не случайное событие А, а некоторая случайная величина A(t) и связанное с ней распределение.

Если ущерб X является случайной величиной с некоторым законом распределения, то условное математическое ожидание и дисперсия ущерба при наступлении страхового случая для дискретной величины определяются по известным из теории вероятностей[3] формулам:

где М(ХА) и М(ХА) – условные математическое ожидание и дисперсия ущерба при условии, что страховой случай А произошел; х, – возможные значения ущерба; pt вероятности этих значений.

В случае если ущерб при наступлении страхового случая – непрерывная случайная величина, формулы принимают вид:

где /(.г) – функция плотности вероятности распределения ущерба.

Но это мы нашли средний ущерб и дисперсию, характеризующие произошедшие убытки при наступлении страхового случая. Как уже обсуждалось в параграфе 1.7, выплаты страховой компании совпадают с убытками далеко не для всех видов договоров и размеров убытков – большое количество договоров частичной защиты, используемых в страховании, подразумевает участие страхователя в оплате всех или части убытков. Поэтому для расчета премии нужно уметь рассчитывать характеристики ущерба не страхователя, а страховщика – реальных выплат страховой компании.

Итак, есть некая функция Y=g(x) – величина возмещения (ущерб страховщика), определяемая условиями договора (см. параграф 1.7), 0<g'(.r)<X

Напомним основные виды договоров по способу распределения ответственности за риск (табл. 2.2).

Таблица 2.2

Основные виды договоров полного и частичного страхования и зависимость выплат страховщика Y=g(x) от реально наступившего ущерба X

п/п

Название договора

Вид функции

Y=kx)

Примечания

1

Договор полной защиты

2

Договор пропорциональной защиты

3

Договор по правилу первого риска

4

Договор с безусловной (вычитаемой) франшизой

5

Договор с условной (невы- читаемой) франшизой

Формулы для расчета условного математического ожидания возмещения страховщика при наступлении страхового случая (так называемая mean severity – средняя тяжесть страхового случая) и условной дисперсии возмещения страховщика для удобства сведем в таблицу (табл. 2.3).

Таким образом мы рассчитаем характеристики ущерба, наступающего по тем договорам, в которых произошел убыток. А страховую премию за риск нужно назначать с учетом реальной опасности риска – вероятности наступления страхового случая и того, что по части договоров в портфеле страховой случай не наступил и убытков не было вообще. Для этого нужно рассчитать безусловные характеристики среднего и дисперсии – по всем договорам портфеля (рис. 2.6).

Условные и безусловные характеристики риска в страховом портфеле

Рис. 2.6. Условные и безусловные характеристики риска в страховом портфеле

Для перехода к безусловному распределению ущерба необходимо вычислить полное математическое ожидание и дисперсию выплат. Так как страховой случай наступает нс во всех договорах, перейдем от условных характеристик к безусловным с учетом оценки вероятности наступления страхового случая Р(А)=р и того, что вбез убыточных договорах выплат не было вообще, т.е. :

Добавим полученные формулы в табл. 2.3. В ней, таким образом, представлены все формулы, необходимые для расчета вероятностных характеристик риска при любых распределенных ущербах.

Вероятность наступления страхового случая р определяется на основе страховой статистики с использованием статистического определения вероятности – оценкой р будет относительная частота наступления страхового случая:

где т – количество договоров, в которых наступил страховой случай; п – общее количество договоров.

Таблица 2.3

Формулы для расчета условных и безусловных характеристик ущерба по страховому портфелю

Закон распределения ущерба

Характеристики ущерба

Дискретная случайная величина

Непрерывная случайная величина

Условное математическое ожидание

Условная дисперсия

Математическое ожидание

Дисперсия

Актуарий может проанализировать страховой портфель определенного типа и выяснить влияние различных факторов на возможность возникновения страхового случая и размер убытков. Тогда можно разбить все неоднородное множество договоров на несколько однородных подмножеств (групп). Для этого могут быть использованы простейшие статистические методы (например, метод группировок) или методы многомерной классификации (например, кластерный анализ). Это позволит внутри каждой группы рассматривать не только ущерб по каждому договору, а суммарный ущерб, что для страховщика значительно важнее.

Если на основании страховой статистики предыдущих лет выявлено, что за единицу времени (обычно один год) в группе из и, договоров произошло в среднем т, случаев, частость ntj/rii позволяет оценить вероятность pt наступления страхового случая в определенной группе.

Если из года в год эмпирические значения т/п практически равны, т.е. колебания случайны и не содержат тренда, то нет необходимости в прогнозировании этой величины, достаточно знать ее среднее значение. При большом количестве наблюдений (договоров) можно с высокой надежностью утверждать, что истинное значение параметра р будет находиться в очень узком доверительном интервале.

Для большей надежности можно взять не точечную оценку р, а правую границу доверительного интервала для генеральной доли:

где i,-e – значение, соответствующее интегральной функции стандартного нормального распределения (квантиль уровня 1-ε):

равной заданной вероятности неразорения страховой компании 1 – ε (см. приложение 1); р = т/п – точечная оценка вероятности наступления страхового случая.

ПРИМЕР 2.1

Комплекс складских помещений общей стоимостью 2000 у.е. требуется застраховать от пожара. Вероятность пожара оценена как р=0,05, а величина ущерба при возникновении страхового случая распределена дискретно:

xi

200

1000

1700

2000

Pi

0,3

0,4

0,2

0,1

Страховщик предложил пять возможных вариантов договора: один с полной и четыре с частичной защитой.

I. Полная защита.

И. Пропорциональная защита с ответственностью страховщика 80% от ущерба.

III. Страхование по правилу первого риска со страховой суммой 80% от цены объекта.

IV. Безусловная франшиза 25% от цены объекта.

V. Условная франшиза 25% от цены объекта.

Сравните договор с полной защитой и договоры с частичной защитой.

Проанализируйте выбранные договоры: найдите характеристики размера ущерба страховщика (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение).

Найдите по всем договорам единовременную рисковую премию.

Решение

Договор I. Поскольку страхователь выбрал договор полной защиты, то все страховые случаи будут оплачены полностью. Страховая сумма равна 100% от стоимости объекта. Страховая сумма S равна стоимости объекта С=2000 у.е.

Таким образом, величина ущерба страховщика (его выплат) будет иметь распределение следующего вида:

200

1000

1700

2000

0,3

0,4

0,2

0,1

Сначала определим условные характеристики ущерба страховщика. Математическое ожидание и дисперсию при условии, что страховой случай произошел, найдем по представленным в табл. 2.3 формулам (2.4) и (2.6):

Так как страховой случай наступает не во всех договорах, заключенных страховой компанией, то необходимо от условных характеристик перейти к безусловным, с учетом вероятности наступления страхового случая согласно (2.8):

Таким образом, единовременная рисковая премия, равная математическому ожиданию выплат страховщика по договору полной защиты, равна 50 у.е.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение выплат страховщика находятся по формуле (2.9) из табл. 2.3:

Договоры II–V. Для определения характеристик риска и рисковой премии но договорам частичной защиты составим в соответствие с формулами табл. 2.2 распределения величины ущерба страховщика (его выплат) и сведем их в таблицу:

п/п

Название договора

Значения выплат СК, у.е.

1

Договор полной защиты 5= С = 2000 у.е.

200

1000

1700

2000

2

Договор пропорциональной защиты, S = 0,8С = 1600 у.е.

160

800

1360

1600

3

Договор по правилу первого риска, S = 0,8С = 1600 у.е.

200

1000

1600

1600

4

Договор с безусловной (вычитаемой) франшизой, L = 0,25С = 500 у.е

0

500

1200

1500

5

Договор с условной (невычитаемой) франшизой, L = 0.25С = 500 у.е.

0

1000

1700

2000

Аналогично, используя формулы (2.4), (2.6), (2.8) и (2.9), представленные в табл. 2.3, найдем условные и безусловные характеристики риска и рисковую премию (2.3) но всем договорам частичной защиты. Полученные результаты сведем в таблицу:

п/п

Название договора

Значения выплат СК, у.е.

1

Договор полной защиты, 5= С=2000 у.е.

1000

390 000

50

67000

258,8436

2

Договор пропорциональной защиты, S = 0,8С

800

249 600

40

42880

207,0749

3

Договор по правилу первого риска, S = 0,8С

940

296 400

47

56791

238,3086

4

Договор с безусловной (вычитаемой) франшизой,

L = 0,2С

590

264 900

29,5

29779,75

172,5681

5

Договор с условной (невычитаемой) франшизой, L = 0,2С

940

494 400

47

66 691

258,246

Таким образом, самые большие средние выплаты после договора полной защиты несут договоры по правилу первого риска и с условной франшизой, так как они обеспечивают не только частичные, но и полные выплаты по значительной части ущербов, ограничивая выплаты страховщика сверху и снизу соответственно. Наименьшие выплаты – но договору пропорциональной защиты и с безусловной франшизой, так как они требуют участия страхователя во всех выплатах. Самые малые средние выплаты имеет договор с безусловной франшизой, так как по условиям договора франшиза, равная 500 у.е., вычитается из всех выплат страховой компании. Что интересно, самую большую дисперсию выплат страховщика, сравнимую с договором полной защиты, имеет договор с условной франшизой, поэтому он наиболее опасен для страховой компании с точки зрения риска.

ПРИМЕР 2.2

Имущество ценой (С) 20 000 у.е. застраховано от пожара сроком на 1 год. Вероятность (р) страхового случая оценена в 10%. При пожаре величина ущерба распределена равномерно. Страхователь выбрал договор страхования с безусловной франшизой L в 10% от цены объекта (2000 у.е.).

Проанализируйте выбранный договор: найдите характеристики размера ущерба страховщика (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации).

Решение

Найдем условное математическое ожидание выплат страховщика при условии, что страховой случай произошел, по формуле (2.5):

где f(x) – плотность вероятности распределения ущерба.

Так как ущерб при пожаре по условию распределен равномерно на интервале [0; С], то его функция плотности вероятностей согласно равномерному закону распределения[4]:

Поскольку страхователь выбрал договор с безусловной франшизой 10% от цены объекта, то согласно определению такого вида франшизы, можно игнорировать и не регистрировать убытки, меньшие, чем эта франшиза (2000 у.е.). В случае, когда при пожаре ущерб оценивается в сумму, большую чем 2000 у.е., страховщик возмещает только часть его: X – L. Поэтому Y = g(x) – величина возмещения (ущерб страховщика), определяемая условиями договора, в данном случае согласно (1.5):

Тогда по формуле (2.5)

Дисперсия выплат страховщика при условии, что страховой случай произошел, по формуле (2.7):

Для перехода к безусловному распределению ущерба необходимо вычислить полное математическое ожидание и дисперсию выплат. Так как страховой случай наступает не во всех договорах, от условных характеристик перейдем к безусловным, с учетом вероятности наступления страхового случая р согласно (2.8) и (2.9):

Таким образом, среднее значение выплат страховщика по такому договору равно 810 у.е., при среднем квадратическом отклонении 3010,63 у.е., превышающем среднее в несколько раз.

Рассчитаем коэффициент вариации, используемый в актуарных расчетах как показатель степени риска по исследуемому договору (подробно рассмотрим его в параграфе 2.5):

Таким образом, об очень высокой степени риска, присущей всегда одному договору (а не портфелю множества договоров) говорит и коэффициент вариации (степень риска) – его приемлемые значения не превышают, как правило, 0,3.

Ответы:

ПРИМЕР 2.3

Автомобиль стоимостью С = 10 000 у.е. застрахован от угона (событие А) на полную стоимость, вероятность угона оценивается страховой компанией как рл = 0,01, и от аварии (событие В), которая может произойти с вероятностью рн = 0,1; в этом случае ущерб распределен равномерно от 0 до С и возмещается полностью.

Определите единовременные рисковые премии при раздельном (в разных договорах) и комбинированном (в одном договоре) страховании этих двух рисков при условии невозможности их совместного наступления, сравните и сделайте выводы.

Решение

Рисковая премия – математическое ожидание выплат страховщика (2.3) (согласно принципу эквивалентности страхования): РП = M(F).

а) Раздельное страхование

При угоне страховая сумма S = С = 10 000 у.е. выплачивается полностью, следовательно, рисковая премия будет равна:

При наступлении страхового случая В (аварии) ущерб распределен равномерно, возмещается полностью, т.е. Y=X, следовательно:

Таким образом, страхуя эти риски в разных компаниях или разных договорах, страхователь заплатит суммарную премию

б) Комбинированное страхование

Если страхователь застраховал имущество от двух рисков в одном договоре, при условии невозможности их совместного наступления, необходимо пересчитать вероятности с условием, что события А и В не могут произойти одновременно: [(/Wl) + (/Wj)].

Тогда суммарная премия по такому комбинированному договору:

Следовательно, заключив договор от двух рисков одновременно, страхователь сэкономил 600 – 585 = 15 у.е.

Итак, учет вероятностей несовместных с точки зрения теории вероятностей страховых событий помогает страховщику снижать страховые тарифы без снижения надежности своей работы, а страхователю – экономить на страховой премии.

  • [1] Корнилов И. А. Указ. соч.
  • [2] Каас Р., Гувертс М, Дэнэ Ж., Денут М. Современная актуарная теория риска: пер. с англ. М.: Янус-К, 2007.
  • [3] Вентцель E. С. Теория вероятностей. М. : КноРус, 2010; Мхитарян В. С., Астафьева Е. В., Миронкина Ю. Н., Трошин Л. И. Теория вероятностей и математическая статистика / под ред. В. С. Мхитаряна. М. : Изд-во МФПА, 2011.
  • [4] Мхитарян В. С., Астафьева Е. В., Миронкина К). Н„ Трошин Л. И. Теория вероятностей и математическая статистика / под ред. В. С. Мхитаряна. М.: Изд-во МФПА, 2011.
 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы