Периодические премии

Страховая премия может вноситься страхователем не только в полном объеме в момент заключения договора, но и выплачиваться периодически в течение срока действия договора страхования (рассрочка).

Периодическая премия – премия, вносимая страхователем в рассрочку, в сроки и размерами, предусмотренными договором страхования. Периоды уплаты периодической премии зависят от срока действия договора страхования. Взносы могут уплачиваться ежемесячно, ежеквартально, ежегодно и т.д.

При заключении договора страхования момент выплаты страховой суммы заранее не известен. Процесс выплат страховых премий, как правило, растянут на весь период действия договора. Поэтому, если договор заключен на сравнительно длительный срок, то необходимо учесть изменение цены денег во времени, поскольку фактор времени в долгосрочной перспективе играет не меньшую роль, чем размеры денежных сумм.

Необходимость учета фактора времени определяется принципом неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени. Неравноценность определяется тем, что теоретически любая сумма денег может быть инвестирована и принести доход. Поступившие доходы, в свою очередь, могут быть реинвестированы, и т.д. Следовательно, сегодняшние деньги в этом смысле ценнее будущих денег, а будущие поступления менее ценны, чем современные. Более подробно основы финансовой математики мы рассмотрим в гл. 6.

Следствием принципа "неравноценности денег" является модификация принципа эквивалентности обязательств страховщика и страхователя, который принимает следующий вид: современные цены рисков страховщика и страхователя равны.

Общий алгоритм нахождения периодической премии таков:

• 1) определяют математическое ожидание современной цены выплачиваемого страхового возмещения – единовременную рисковую премию;
• 2) вычисляют современную стоимость страховой защиты с учетом рисковой надбавки – единовременную нетто-премию;
• 3) учитывают современную стоимость нагрузки и получают современную цену брутто-премии;
• 4) с помощью математического аппарата ренты и учета риска недополучения взносов находится размер необходимых периодических взносов.

В финансовых вычислениях фактор времени учитывается с помощью начисления простых или сложных процентов. Простые проценты применяются, как правило, в финансовых операциях со сроком до одного года. В долгосрочных финансовых операциях применяются сложные проценты, когда проценты не выплачиваются периодически, а присоединяются к сумме долга. В актуарных расчетах обычно используются сложные проценты (более подробно см. в гл. 6). Формула наращения по сложным процентам имеет вид:

где С – первоначальная сумма; С(п) – наращенная за п временных периодов сумма; i – эффективная ставка процентов за один период (чаще годовая); п – срок начисления процентов.

Расчет исходной суммы С по заданной наращенной сумме С(п) в конце срока страхования – задача, обратная задаче наращения процентов, она называется дисконтированием.

Величину С, найденную дисконтированием, называют современной величиной (текущей стоимостью) суммы С(п). Величина С эквивалентна сумме С(п) в том смысле, что через определенный период времени и при заданной ставке процентов сумма С в результате наращения становится равной С(п).

Формула дисконтирования по сложным процентам имеет вид:

где – коэффициент дисконтирования.

Рассмотрим алгоритм определения периодических взносов на основе аппарата ренты. Предположим, что был рассчитан размер единовременной брутто-премии БП. Известна величина годовой процентной ставки г. Предполагается, что взносы будут вноситься т раз в году. Ценапервого вносимого страхователем взноса будет равна . Современная цена второго периодического взноса будет, согласно операции дисконтирования, меньше в 1/v раз (где коэффициент дисконтирования v рассчитывается через эффективную процентную ставку промежутка 1 /т. Современная цена третьего взноса будет меньше в 1 /v2 раз и т.д. Современная цена последнего взноса будет меньше в 1 /vm 1 раз. Таким образом, исходя из принципа равенства современной стоимости премии и суммы будущих платежей можно составить балансовое уравнение, которое необходимо решить относительно неизвестной величины БПпериод – размера периодической премии:

При определении размера периодической премии рассмотренным способом на основе классического аппарата ренты не учитывается риск неполучения очередного взноса страховщиком. В классическом аппарате ренты предполагаются детерминированные по срокам и размерам потоки платежей. В страховании, если страховщик не получил единовременную премию, у него нет полной уверенности, что он получит всю оговоренную контрактом сумму взносов. Если страховой случай наступил ранее очередного взноса, то клиент освобождается от всех дальнейших взносов (если иное не оговорено в договоре страхования), а страховая компания должна выполнить свои обязательства в полном объеме. Для учета этого случайного фактора классический аппарат ренты модифицируется. Если современная цена обязательств учитывает только изменение цены денег, то актуарная цена учитывает еще и вероятность недополучения части взносов страховщиком^[1].

Если вероятность наступления страхового случая равна р и эта вероятность распределена равномерно (не зависит от времени действия договора), тогда страховой случай в каждом периоде может наступить с вероятностью р/т.

Первый взнос страховая компания получит с вероятностью 1, так как без него договор страхования не вступит в силу. До второго взноса пройдет один период, за который случай произойдет с вероятностью р/т или не произойдет с вероятностью 1 – р/т. В последнем случае страховая компания получит второй взнос с вероятностью 1 – р/т, и т.д. Вероятность получения взносов страховщиком будет уменьшаться с каждым периодом на величину р/т. Таким образом, исходя из принципа равенства современной стоимости премии и суммы будущих платежей с учетом риска страховщика уравнение для нахождения периодической премии БПпериод принимает вид:

(2.26)

Если бы закон распределения вероятности наступления страхового случая носил не равномерный, а какой-то иной характер, необходимо было бы рассчитать вероятности получения каждого очередного платежа согласно данному закону распределения.

Таким образом, размер периодической премии зависит от следующих факторов:

• • размера единовременной премии;
• • коэффициента дисконтирования и вида наращения процентов;
• • вероятности наступления страхового случая;
• • закона распределения вероятности наступления страхового случая;
• • долгосрочности договора страхования и периодичности выплат.

Согласно общим правилам страхования периодические взносы должны вноситься в начале каждого периода, так как без первого взноса не заключается договор страхования, и чем раньше внесены деньги, тем дольше они "работают", т.е. приносят больший доход, следовательно, номинально внесенная сумма уменьшается. Это уменьшение будет тем больше, чем выше процентная ставка i.

Таким образом, актуарная цена периодических взносов дороже за счет риска недополучения страховщиком части взносов. Единовременно уплачиваемая сумма премии всегда меньше суммы периодических премий. Однако при долгосрочном страховании (например, пенсионном страховании) страховщик может предоставить дополнительную скидку, несмотря на рассрочку платежа. Дело в том, что полученные страховщиком премии могут быть инвестированы, за счет чего может быть получен дополнительный доход. И при длительном сроке страхования, начиная с некоторого момента времени t, процентная ставка начинает влиять сильнее, чем

Рис. 2.10. Сравнение во времени номинальных взносов и накопленной суммы с процентами

сумма вероятности наступления страхового случая, влияющая на риск неполучения взносов (рис. 2.10)^[2]. Этот эффект лежит в основе "скидки", предоставляемой клиенту при увеличении срока страхования^[1].

ПРИМЕР 2.8

В договоре на один год единовременная рисковая премия равна 30 у.е. Найдите периодическую ежеквартальную рисковую премию, если вероятность возникновения страхового случая распределена равномерно, а в течение года случай может наступить с вероятностью 0,05. Процентная годовая ставка равна 15% с ежеквартальным начислением процентов, а невнесенные к моменту наступления страхового случая взносы не вычитаются из возмещения.

Решение

Вероятности страхового события р = 0,05 в течение одного года при равномерном законе распределения соответствует ежеквартальная вероятность страхового случая, равная:

ркв = 0,05 /4 = 0,0125.

Таким образом, только первый взнос компания получит с вероятностью 1 (без первого взноса не заключается договор). До второго взноса пройдет один квартал, за который страховой случай может произойти с вероятностью 0,0125 или не произойти (тогда компания получит и второй взнос) с вероятностью р = 1 – 0,0125 = 0,9875. Рассуждая аналогично, обнаружим, что вероятность получения компанией каждого следующего взноса уменьшается на 0,0125, и третий взнос страховщик получит с вероятностью 0,975, а 4-й – 0,9625.

Рассмотрим второй фактор – поток из четырех платежей в начале каждого квартала, эквивалентный заданной единовременной премии, при известной процентной ставке г.

При банковской номинальной годовой процентной ставке 15% ежеквартально начисляются проценты в размере г = 3,75%, тогда при ежеквартальном начислении процентов необходимо учитывать для каждого взноса коэффициент дисконтирования, равный V = 1/(1 + "), возведенный в степень, соответствующую периоду в кварталах, прошедшему с настоящего момента. Современная цена второго периодического взноса будет, согласно операции дисконтирования, меньше в 1/v раз. Современная цена третьего взноса будет меньше в 1/v2 раз и т.д.

Таким образом, исходя из принципа равенства современной стоимости премии и суммы будущих платежей:

Так как страховщик должен сохранить премию, обеспечивающую принцип эквивалентности сторон, то составляем балансовое уравнение, учитывающее все вышеперечисленные факторы (2.26):

Откуда выразим ежеквартальную премию:

Подставляя значения, получаем значение ежеквартальной премии:

Общая суммарная рисковая премия за год составит:

Разница между суммарной периодической и единовременной премией будет составлять:

Таким образом, уплачивая взносы в рассрочку, клиент за год заплатит на 2,264 у.е. (или на 7,5%) больше, чем при единовременной оплате.

Ответ: ежеквартальная рисковая премия при банковской ставке 15% годовых при ежеквартальном начислении процентов равна 8,066 у.е., при этом годовой рисковый взнос равен 32,264 у.е., что на 7,5% больше единовременного взноса.

• [1] Корнилов И. А. Указ. соч.
• [2] Миронкина Ю. Н„ Сорокин А. С. Основы актуарных расчетов: учебнопрактическое пособие. М.: Изд. центр ЕАОИ, 2011.
• [3] Корнилов И. А. Указ. соч.