Индивидуальные модели риска

Индивидуальный риск – выплата К, по одному договору со страховой суммой S, и вероятностью выплаты р,.

В индивидуальных моделях выплата по договору может произойти 1 раз, при этом размер выплаты может быть фиксированным, либо являться случайной величиной, распределенной по некоторому закону с плотностью вероятности АУд-

До заключения договора страхования страхователь имел некоторый риск, который мог привести или не привести к случайным потерям. После заключения договора страхования, заплатив некоторую сумму денег (страховую премию), страхователь избавился от этого риска. Однако сам риск не исчез – его приняла на себя страховая компания. Поэтому финансовый риск и связанная с ним опасность разорения объективно присутствует в деятельности любой страховой компании. Оценка этого риска представляет фундаментальный интерес для страховщика и служит основой для принятия важнейших решений.

Элементарной составляющей финансового риска страховой компании является индивидуальный риск – выплаты (потери, убытки) по отдельному договору. В ряде случаев в рамках договора может произойти только одна выплата (например, на случай смерти или угона автомобиля) или несколько (например, страхование автомобиля от ущерба). В простейших моделях придерживаются схемы "один договор – одна выплата".

В моделях индивидуального риска интерес представляет лишь величина выплат по отдельному договору У;, измеренная в денежных единицах. Основным здесь является следующее положение. Относительно размера убытка, связанного с одним конкретным договором, нельзя сказать ничего определенного, кроме простой констатации факта – он либо будет, либо нет. Однако если мы имеем дело с большой группой договоров и не интересуемся судьбой определенных договоров из этой группы, то мы находимся в рамках теории вероятностей как науки о массовых случайных явлениях, обладающих свойством устойчивости частот. Соответственно мы можем говорить о выплате У; как о случайной величине.

Различают следующие варианты моделей индивидуального риска[1]:

  • 1) если размер выплаты У; фиксирован:
    • • для всех страховые суммы 5,- и вероятности выплат р, одинаковые;
    • Si различны, а р, одинаковые;
    • Sj одинаковые, а р, различны;
    • • различаются St и р•;,
  • 2) если размер выплаты У, не фиксирован:
    • Sj и fj(y) одинаковые;
    • Sj различны, а /фу) постоянна;
    • Sj одинаковые, a fj(y) различны;
    • • различаются /,(у) и £,.

Модель индивидуального риска может рассматриваться как простейшая модель функционирования страховой компании, предназначенная для расчета вероятности разорения компании.

Вероятность разорения ε определяется превышением суммарных выплат Ζ по портфелю суммарных активов страховой компании А:

Данная модель базируется на следующих предпосылках[2]:

  • • анализируется фиксированный относительно короткий промежуток времени (обычно берут один год);
  • • количество договоров страхования N фиксировано и неслучайно;
  • • премия полностью вносится в начале анализируемого периода (периодические премии не рассматриваются);
  • • риски попарно независимы;
  • • договоры однородны, т.е. вероятности наступления страхового случая р одна и та же для всех договоров;
  • • наблюдается каждый отдельный договор страхования и известны статистические свойства связанных с ним индивидуальных потерь Xj.

Обычно предполагается, что в модели индивидуального риска случайные величины – независимы.

Исходя из приведенной модели, вероятность разорения – это дополнительная функция распределения величины суммарных потерь компании за рассматриваемый промежуток времени.

Иногда индивидуальную модель риска рассматривают как структурированную модель индивидуального риска.

В структурированной модели индивидуального риска случайную величину выплат Y представляют в виде:

где Y – выплаты по договору; X – размер ущерба; 1 – индикатор, случайная величина, принимающая два значения: 1 с вероятностью р, если требование о выплате наступило, и 0 с вероятностью q = 1 – р, если страхового случая не было:

Распределение размера ущерба имеет смысл только при предъявлении требований об оплате, т.е. имеет место условное распределение.

Способ моделирования в явном виде и в структурированном виде эквивалентны в том смысле, что закон распределения случайной величины У вполне определяет законы распределения / и X, и наоборот, законы распределения случайных величин I и X позволяют получить вероятностные характеристики Y.

I – индикатор события У > 0, поэтому ее распределение:

Распределение величины X – условное распределение У при У > 0:

Если известны распределения случайных величин / и X, можно рассчитать распределение индивидуального возмещения У:

Математическое ожидание и дисперсия индивидуального возмещения У через моменты ущерба X можно выразить следующим образом:

В принципе, эти формулы нам хорошо знакомы из гл. 2 (2.8) и (2.9).

Если договоров несколько, получаем:

Если выплаты фиксированы, то их дисперсии равны О, и формула для расчета суммарной дисперсии упростится. Если вероятности одинаковые, то их значения можно вынести за знак суммы.

В западной литературе средний размер страхового возмещения после наступления страхового случая М(Х) называется тяжестью (средней тяжестью) mean severity, а размер M(Y)ожидаемые потери по договору страхования.

  • [1] Корнилов И. А. Указ. соч.
  • [2] Фалин Г. И., Фалин А. И. Теория риска для актуариев в задачах. М.: Мир; Научный мир, 2004.
 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >