Смешанные пуассоновские распределения для моделирования числа страховых случаев

На практике параметр Пуассоновского распределения λ оказывается часто непостоянным по следующим причинам:

  • • различие параметров пуассоновского распределения у разных страхователей при моделировании количества случаев в индивидуальных моделях;
  • • различие параметра для разных лет в портфеле с одинаковыми рисками в случае коллективной модели (погодные условия, экономическая конъюнктура и др.) (например, при страховании автомобиля от аварии интенсивность зависит от количества дней с плохой погодой и не является константой).

В этом случае возникает проблема ввода дополнительной случайной величины , отвечающей за изменение параметра λ и отражающей неоднородность портфеля (в первом случае) или служащей для моделирования ежегодно меняющихся внешних воздействий в однородном портфеле коллективной модели (во втором случае).

независимые одинаково распределенные случайные величины, характеризующие индивидуальность страхователя в первом случае и "качество года" во втором. Распределение называется смешивающим распределением и выступает мерой неоднородности портфеля.

Жан Лемер (Jean Lemaire)[1], Томас Мак (Thomas Mack)[2] предлагают для учета разнородности страхователей использовать некую функцию, называемую структурной функцией и(Х), которая приводит к так называемому смешанному (составному, сложному) пуассоновскому распределению (compound Poisson distribution).

Итак, предположим, что распределение числа страховых случаев на счету каждого застрахованного имеет пуассоновское распределение:

Причем каждый страхователь характеризуется своим значением λ, что позволяет учесть неоднородность рисков.

Дискретная случайная величина К имеет смешанный закон распределения Пуассона, если она принимает значения с параметром-функцией с вероятностями:

(3.19)

где – плотность распределения случайной величины (структурная функция).

На практике делается определенное предположение о виде смешивающего распределения, т.е. распределения случайной величины

В качестве структурной или смешивающей функции можно выбирать различные функции. Наиболее распространены в качестве смешивающего распределения и приводят в адекватным результатам:

  • – гамма-распределение;
  • – обратное гауссовское распределение.

Смешанное пуассоновское/гамма-распределение

В качестве моделирующей параметр Пуассона функции в актуарных расчетах часто используется гамма-распределение с параметрами а и b:

где – гамма-функция Эйлера,,

– натуральное число.

Его числовые характеристики:

Именно гамма-распределение хорошо описывает ситуацию, когда значения λ колеблются вокруг некоторой величины, притом что как очень маленькие, так и очень большие значения λ хоть и возможны, но маловероятны[3].

Распределение числа страховых случаев в портфеле (рк, } тогда приводится к следующему виду:

Если а – целое, то, учитывая, что :

Таким образом, мы пришли к отрицательной биномиальной модели вида (3.16):

с параметрами и числовыми характеристиками:

Вычисление вероятностей отрицательного биномиального распределения не требует таблицы значений гамма-функции. Последовательное использование свойства позволяет перейти к рекуррентной формуле:

(3.20)

при начальном значении

(3.21)

Оценки параметров распределения по выборке с использованием метода моментов осуществляются по формулам:

(3.22)

ПРИМЕР 3.7[4]

Известно, что:

  • 1) число страховых случаев К имеет распределение Пуассона со средним Л;
  • 2) Л имеет гамма-распределение со средним 1 и дисперсией 2. Определите вероятность того, что К = 1 (в договоре произойдет 1 страховой случай).

Варианты ответов: а) 0,19; б) 0,24; в) 0,31; г) 0,34; д) 0,37. Решение

По условию задачи понятно, что случайная величина К имеет смешанное пуассоновское/гамма-распределение, которое приводится к отрицательному биномиальному распределению вида (3.16):

с параметрами:

где а и b – параметры гамма-распределения, которые связаны с его математическим ожиданием и дисперсией формулами вида:

По условию

Отсюда параметры гамма-распределения:

Тогда

Теперь, пользуясь формулой отрицательного биномиального распределения, можно найти искомую вероятность:

Следовательно, верный вариант ответа – а).

ПРИМЕР 3.8[5]

Исследуем портфель, состоящий из п = 2512 договоров но страхованию автокаско. За год поступили иски по т = 888 договорам в связи со страховыми случаями. Число страховых случаев кk, произошедших по одному договору, варьировалось в изучаемом портфеле от 0 до 10 (см. таблицу).

Необходимо проверить, подходит ли смешанное пуассоновское / гамма-распределение (отрицательное биномиальное) для моделирования распределения числа страховых случаев в данном портфеле автокаско.

Решение

Найдем выборочные оценки параметров распределения числа страховых случаев в одном договоре (среднее значение):

и выборочную дисперсию

Расчетная таблица имеет следующий вид:

Расчет выборочных оценок параметров распределения числа страховых случаев в одном договоре

k

0

1624

0

0

0

1

490

490

1

490

2

208

416

4

832

3

98

294

9

882

4

48

192

6

768

5

23

115

25

575

6

10

60

36

360

7

5

35

49

245

8

3

24

64

192

9

2

18

81

162

10

1

10

100

100

п

2512

Итак, по результатам расчета оценок параметров распределения случайной величины К – числа страховых случаев в одном договоре, получаем:

  • – выборочная средняя:
  • – в одном договоре по портфелю происходит в течение года в среднем 0,658 страховых случаев;
  • – выборочная дисперсия:

Проверка данного эмпирического распределения на закон Пуассона дала серьезное расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами и = 7,815. Таким образом, в рассматриваемом примере пуассоновское распределение не может служить адекватной моделью, эмпирическое распределение имеет длинный правый хвост – до 10 страховых случаев, нужно пробовать смешанные пуассоновские распределения. Итак, рассчитаем смешанное пуассоновское / гамма-распределение.

С учетом найденных выборочных характеристик, среднего и выборочной дисперсии вычислим оценки параметров гамма-распределения по (3.22):

Пользуясь рекуррентной формулой (3.20) и формулой для расчета вероятности нулевых выплат (3.21), рассчитываем теоретические частоты, результаты представим в таблице.

Расчет распределения числа исков в портфеле договоров автокаско с помощью отрицательного биномиального распределения (смешанного пуассоновского/гамма- распределения)

Число страховых случаев в договоре k

Эмпирические

Теоретические (отриц. бином.)

частоты тк

вероятности pkT

частоты ткТ

0

1624

0,6434

1616

1

490

0,1992

501

2

208

0,0836

210

3

98

0,0382

96

4

48

0,0181

46

5

23

0,0088

22

6

10

0,0043

11

7

5

0,0022

5

8

3

0,0011

3

9

2

0,0005

1

10

1

0,0003

1

Всего

2512

1,000

2512

Далее, в соответствии с требованиями критерия согласия Пирсона объединения интервалов с малыми теоретическими частотами, меньшими 5, наблюдения объединялись в группы, и вычислялось значение %211а6л.

Сравнение х?и6л = 0,806 и χ£ριιτ (а = 0,05; v = 9 – 2 – 1=6) = = 12,592 показало, что x,laft;l < χ^ριιτ, поэтому проверяемая гипотеза не отвергается, т.е. отрицательная биномиальная модель признается адекватной и достаточно точно отражает распределение числа поступивших исков. Отрицательная биномиальная модель, принятая на таком уровне надежности, может быть использована для проведения актуарных расчетов.

Полученные результаты и согласованность эмпирического и отрицательного биномиального распределения наглядно проиллюстрированы графиком (рис. 3.5).

В работах Жана Лемера, Томаса Мака, И. А. Корнилова и других ученых отмечается успешное применение отрицательного биномиального распределения в подгонке числа страховых случаев для неоднородных портфелей. Приведем пример (краткие резуль-

Выборочное и теоретическое отрицательное биномиальное распределения числа страховых случаев и расчет статистики критерия согласия Пирсона

k

0

1624

1616

0,0378

1

490

501

0,2190

2

208

210

0,0198

3

98

96

0,0481

4

48

46

0,1373

5

23

22

0,0367

6

10

11

0,0736

7

5

5

0,0339

>8

6

5

0,2

Сумма х2набл

0,8062

тэты расчетов) еще более неоднородного портфеля с гораздо более длинным правым хвостом.

Моделирование числа исков по виду страхования автокаско с помощью отрицательного биномиального распределения

Рис. 3.5. Моделирование числа исков по виду страхования автокаско с помощью отрицательного биномиального распределения

ПРИМЕР 3.9

По страховому портфелю добровольного медицинского страхования, распределение числа страховых случаев в котором было приведено в качестве примера на рис. 3.4, в количестве п = 44 114 договоров были рассчитаны выборочные оценки параметров модели с использованием метода моментов по формулам (3.22):

Результаты расчета теоретических частот смешанного пуассоновского/гамма-распределения и их сравнения с эмпирическими частотами, наблюдаемыми по портфелю, приведены в таблице и на рис. 3.6.

В рассматриваемой модели (а = 0,05; v= 14) =23,685.

Следовательно, проверяемая гипотеза не отвергается на уровне значимости а = 0,05, и отрицательная биномиальная модель признается адекватной для аппроксимации распределения урегулированных убытков при моделировании числа страховых выплат в портфеле рисков по договорам медицинского страхования (ДМС).

Таблица и рис. 3.6 наглядно демонстрируют отличную согласованность изучаемой случайной величины числа страховых случаев с теоретическим смешанным пуассоновским/гамма-распределением.

Смешанное пуассоновское/обратное гауссовское распределение

Теперь изучим другой вариант смешанного пуассоновского распределения, который часто выдвигается как альтернатива отрицательному биномиальному распределению в актуарных расчетах[6] – пуассоновское/обратное гауссовское распределение.

Итак, еще один распространенный вариант смешанного закона Пуассона:

Эмпирические (тк) и теоретические кТ) частоты смешанного пуассоновского /гамма- распределения и проверка их согласия критерием Пирсона

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

>16

27 981

7719

3652

1908

1148

612

423

256

162

106

66

34

20

9

10

4

4

27 680

7810

3682

1970

1117

654

392

238

146

91

57

36

22

14

9

6

8

0,53

1,06

0,24

1,95

0,86

2,70

2,45

1,36

1,75

2,47

1,42

0,11

0,18

1,79

0,11

0,67

2,00

Эмпирические и теоретические (согласно отрицательному биномиальному распределению) частоты портфеля договоров ДМС

Рис. 3.6. Эмпирические и теоретические (согласно отрицательному биномиальному распределению) частоты портфеля договоров ДМС

– использование для величины в качестве структурной или смешивающей функции плотности вероятностей обратного гауссовского распределения с параметрами g и h.

Тогда получается смешанное Пуассоновское распределение, которое называется пуассоновским/обратным гауссовским распределением с числовыми характеристиками:

Выборочными оценками для параметров распределения g и h по методу моментов являются:

(3.23)

Вероятности пуассоновского/обратного гауссовского распределения могут быть вычислены рекуррентно:

(3.24)

Затем рассчитываются теоретические частоты и с помощью критерия согласия проверяется адекватность модели исследуемому портфелю.

ПРИМЕР 3.10

По данным примера 3.8 найдем выборочные оценки для параметров обратного гауссовского распределения g и h по методу моментов (3.23): g = 0,658; h = 1,126.

Рассчитаем по рекуррентным формулам (3.24) вероятности обратного гауссовского распределения. Результаты приведем в таблице.

Расчет модели распределения числа исков в портфеле договоров автокаско с помощью смешанного пуассоновского / обратного гауссовского распределения

Число страховых случаев в договоре k

Эмпирические

Теоретические

частоты mk

вероятности pkT

частоты ткт

0

1624

0,6252

1571

1

490

0,2282

573

2

208

0,0812

204

3

98

0,0332

84

4

48

0,0153

39

5

23

0,0076

19

6

10

0,0040

10

7

5

0,0022

6

8

3

0,0013

3

9

2

0,0007

2

10

1

0,0004

1

Всего

2512

1,000

2512

В дальнейшем, по аналогии с предыдущими распределениями, наблюдения с теоретическими частотами, меньшими 5, объединялись в группы, и вычислялось значение у/, айл.

Расчет статистики критерия согласия Пирсона для смешанного пуассоновского / обратного гауссовского распределения числа страховых случаев

0

1624

1571

1,7880331

1

490

573

12,02268761

2

208

204

0,078431373

3

98

84

2,333333333

4

48

39

2,076923077

5

23

19

0,842105263

6

10

10

0

7

5

6

0,166666667

>8

6

6

0

Сумма μ2 аба

19,308

Сравнение у211айл =19,308 и χ2κρΗΤ (а = 0,05; v = 9- 2- 1=6) = = 12,592 показало, что χ2π;ι6ι > χ2 ит, поэтому проверяемая гипотеза отвергается, т.е. обратное гауссовское распределение признается неадекватной моделью и недостаточно точно отражает распределение числа поступивших исков. Хотя но значению статистики критерия согласия х2иаб, = 19,308 видно, что оно ненамного превышает критическое значение, и изучаемое распределение можно поставить на второе место в аппроксимации изучаемого распределения после отрицательной биномиальной модели.

ПРИМЕР 3.11

В другом исследованном портфеле страхования автокаско наилучшим оказалось как раз смешанное пуассоновское/обратное гауссовское распределение.

Кратко приведем только основные полученные результаты. Эмпирическое распределение, полученное с помощью СВОДНОЙ ТАБЛИЦЫ в Excel, представлено в таблице.

По выборочным характеристикам, полученным по портфелю, были найдены оценки параметров (3.23):

Далее по формуле (3.24) рассчитаны теоретические вероятности, а затем – частоты.

Расчет распределения числа исков в портфеле договоров автокаско для смешанного пуассоновского /обратного гауссовского распределения

Число страховых случаев в договоре k

Эмпирические

Теоретические

частоты тк

вероятности pkT

частоты mkT

0

8045

0,5467

7996

1

3807

0,2677

3916

2

1614

0,1066

1559

3

654

0,0434

635

4

264

0,0188

274

5

124

0,0086

125

6

58

0,0041

60

7

29

0,0020

30

8

12

0,0010

15

9

10

0,00053

8

10

5

0,00028

4

11

3

0,00015

2

12

2

0,00008

1

п

14 627

1,000

14 626

Далее, как это было сделано в предыдущих примерах, проверим соответствие модели при помощи критерия Пирсона. Выполним группировку и объединим 10-й, 11-й и 12-й интерваты так, чтобы значение теоретической частоты суммарное было больше либо равно 5. Результаты проверки гипотезы о соответствии полученного теоретического распределения эмпирическому.

Выборочное и теоретическое обратное гауссовское распределение числа страховых случаев и расчет статистики критерия согласия Пирсона

0

8045

7997

0,288

1

3807

3916

3,046

2

1614

1559

1,922

3

654

635

0,596

4

264

274

0,389

5

124

126

0,032

6

58

60

0,056

7

29

30

0,010

8

12

15

0,590

9

10

8

0,655

>10

10

7

1,286

8,87

где 11 – число интервалов (после объединения правого хвоста с малыми частотами); 2 – количество оцениваемых по выборке параметров.

Как показал критерий согласия, гипотеза о том, что распределение числа страховых случаев подчиняется обратному гауссовскому распределению, не отвергается. Следовательно, данное распределение адекватно отражает эмпирическое распределение, что подтверждает график (рис. 3.7).

Модель "хорошие/плохие риски" Лемера

Жан Лемер, профессор Университета Пенсильвании, известный бельгийский актуарий, один из крупнейших исследователей в европейском автомобильном страховании, предложил для расчета количества исков еще одну модель, которая относится к смешанным пуассоновским распределениям – модель "хорошие/плохие риски"[7]. В этой модели, разработанной для аппроксимации количества исков в портфеле договоров автострахования, предполагается, что существует две категории водителей с разным уровнем аварийности – "хорошие" (для моделирования которых вводится пуассоновское распределение с параметром λ1) и "плохие"

Моделирование числа исков по виду страхования автокаско с помощью смешанного пуассоновского / обратного гауссовского распределения

Рис. 3.7. Моделирование числа исков по виду страхования автокаско с помощью смешанного пуассоновского / обратного гауссовского распределения

водители (характеризуются значением параметра λ2). Смешивающее распределение Л здесь – двухточечное дискретное. Оценки теоретических вероятностей рассчитываются с помощью формулы

(3.25)

где

Оценки параметров распределения по методу моментов рассчитываются по следующим формулам[3]:

(3.26)

(3.27)

где – начальные выборочные моменты 1-го, 2-го и 3-го соответственно порядка случайной величины К – числа страховых случаев, наступивших за год в одном договоре.

Далее рассчитываются теоретические частоты и с помощью критерия согласия проверяются на согласованность с эмпирическими.

ПРИМЕР 3.12

Проанализируем реальный портфель договоров страхования ОСАГО одной из крупных московских страховых компаний.

Сгруппировав все договоры по числу наступивших за год страховых случаев, получим следующее эмпирическое распределение числа исков:

Выборочное распределение числа поступивших исков К по договорам страхования ОСАГО

Количество исков k

0

1

2

3

4

5

Количество договоров тк

105 925

4940

554

73

7

1

Для нашего портфеля из 111 500 договоров рассчитаны следующие оценки параметров распределения по (3.26) и (3.27):

Рассчитанные выборочные оценки параметров распределения модели "хорошие/плохие риски"

а

b

С

0,0565

0,0713

0,1069

0,0565

0,0148

0,0060

А

В

1

аг

0,4426

0,0102

0,0244

0,4182

0,9185

0,0815

Полученные результаты свидетельствуют о том, что доля "хороших" водителей в портфеле составляет около 91,85% и в среднем они попадают в 0,02 аварии в год. Остальные 8,15% – "плохие" водители, у них частота страхового случая составляет 0,42 аварии в год.

Для проведения дальнейшего анализа следует вычислить теоретические вероятности и частоты, подставляя найденные параметры в закон распределения Лемера (3.25):

В таблице представлены теоретические вероятности и частоты, рассчитанные по полученной формуле аппроксимирующего закона: Следует заметить, что доля "хороших" водителей намного больше, чем "плохих", что делает выбор модели Лемера вполне

Число страховых случаев в договоре

k

Эмпирические

Теоретические

частоты mk

вероятности ркт

частоты mkT

0

105 925

0,9500

105 925

1

4940

0,0443

4941

2

554

0,0050

553

3

73

0,0007

73

4

7

0,0001

8

5

1

0,0000

1

Всего

111 500

1,000

111 500

адекватным. Кроме того, вероятность аварии в целом по портфелю достаточно мала.

Как можно заключить из рассмотренной таблицы и рис. 3.8, модель Лемера очень точно отражает распределение страховых случаев в одном договоре, так как расхождение в теоретических и эмпирических частотах минимально.

Проверим этот довод с помощью критерия Пирсона. Итак, (напомним, что по выборке оценивалось три параметра распределения в отличие от всех предыдущих моделей). Гипотеза не отвергается, а модель "хороших и плохих рисков" Лемера признается адекватной для аппроксимации распределения числа страховых слу-

Моделирование числа исков по виду страхования ОСАГО с помощью модели Лемера

Рис. 3.8. Моделирование числа исков по виду страхования ОСАГО с помощью модели Лемера "хорошие/плохие риски"

чаев в портфеле ОСАГО. Такое редкое согласие между эмпирическими и теоретическими частотами напоминает, что модель была разработана Лемером именно для страхования автогражданской ответственности владельцев транспортных средств, и портфель страхования ОСАГО русской страховой компании оказался тоже подходящим этому распределению.

Представленная модель "хорошие/плохие риски" может быть использована для аппроксимации распределения числа урегулированных убытков во многих других видах страхования, где страхователей также можно разделить на группы с разной вероятностью наступления страхового случая.

ПРИМЕР 3.13

По данным примеров 3.8 и 3.10 рассчитаем модель Лемера.

Для исследуемого портфеля договоров страхования автокаско рассчитаны следующие оценки параметров распределения.

а

b

С

0,658

1,833

7,4108

0,658

1,175

3,2269

А

В

3,3078

1.0028

0,3376

2,9702

0,8781

0,1219

Полученные оценки могут быть интерпретированы следующим образом: в рассматриваемый портфель договоров попало 87,81% ( β] ) "хороших" водителей, частота страховых случаев которых составляет 0,33 аварии в год ( λ, ), и 12,19% "плохих" водителей, которые в год совершают в среднем 2,97 аварии.

Таким образом, вероятности смешанного пуассоновского распределения модели "хорошие риски/плохие риски", аппроксимирующего распределение числа исков в исследуемом портфеле, будем рассчитывать по следующей формуле:

Результаты расчетов приведены в таблице.

Теперь с помощью критерия согласия χ2 проверим гипотезу об адекватности построенной модели.

Х2найл = 37,882 > χ2κρΜΤ (а = 0,05; ν = 8- 3-1=4) = 9,488 (обратите внимание – здесь мы по выборке оценивали три параметра – α,, λ i, λ2), следовательно, гипотеза отвергается. Модель "хорошие риски /плохие риски" признается неадекватной для распределения урегулированных убытков.

Расчет распределения числа исков в портфеле договоров автокаско с помощью смешанного пуассоновского распределения модели "хорошие риски/плохие риски" (по Ж. Лемеру)

Число страховых случаев в договоре k

Эмпирические частоты тк

Теоретические

(смеш. Пуассон, хор./плох. риски)

вероятности Рь

частоты ткТ

0

1624

0,6328

1590

1

490

0,2301

578

2

208

0,0633

159

3

98

0,0313

79

4

48

0.0206

52

5

23

0,0121

30

6

10

0,0060

15

7

5

0,0025

6

8

3

0,0009

2

9

2

0,0003

1

10

1

0.00009

0

Всего

2512

1,000

2512

Выборочное и теоретическое смешанное пуассоновское распределение модели "хорошие/нлохие риски" числа страховых случаев и расчет статистики критерия согласия Пирсона

k

0

1624

1590

0,749

1

490

578

13,401

2

208

159

15,125

3

98

79

4,751

4

48

52

0,275

5

23

30

1,761

6

10

15

1,654

>7

11

9

0,168

Сумма х2на6л

37,882

Результаты применения критерия согласия Пирсона но всем исследованным распределениям (по результатам расчетов примеров 3.8, ЗЛО, 3.13) сведем в итоговую таблицу.

Результаты расчета статистики критерия согласия Пирсона для всех рассмотренных распределений, моделирующих число страховых случаев в одном договоре страхования автокаско

Вид распределения

Пуассона

Смешанное пуассоновское

Гамма

Обратное гауссовское

Модель Лемера

829,541

0,806

19,308

37,882

7,815

12,592

12,592

9,488

Гипотеза отвергается

Гипотеза не отвергается

Гипотеза отвергается

Гипотеза отвергается

Кроме того приведем график (рис. 3.9), на котором видны все полученные результаты и какое теоретическое распределение как моделирует все частоты эмпирического.

Статистическое исследование и моделирование числа исков в рассмотренном портфеле договоров страхования позволили сделать вывод, что в исследуемой совокупности страховых договоров наиболее подходящей моделью нужно признать отрицательное биномиальное распределение, являющееся смешанным пуассоновским/гамма-распределением.

В актуарной литературе имеются работы, в которых рассматривались и другие смешанные пуассоновские модели[3].

Виллмот (Willmot) получил простую рекуррентную формулу, которая работает для широкого ряда непрерывных смешивающих распределений. В качестве смешивающих распределений он использовал бета-распределение, равномерное распределение, распределение Парето, а также обобщенное распределение Парето. Кроме того, он рассматривал отрицательное биномиальное распределение, пуассоновское бета-распределение и обобщенные гауссовские модели.

Альбрехт (Albrecht) рассматривал смеси пуассоновского распределения с такими распределениями, как семейство Пирсона, распределение Вейбулла, Парето, Бесселя, усеченное нормальное распределение, хи-квадрат и др. Он также

Моделирование числа исков по страхованию автокаско с помощью пуассоновского и трех смешанных пуассоновских распределений

Рис. 3.9. Моделирование числа исков по страхованию автокаско с помощью пуассоновского и трех смешанных пуассоновских распределений

высказывал соображения в пользу дискретных смесей пуассоновских распределений.

Делапорте (Delaporte) впервые ввел, а Рюохонен (Ruohonen), Виллмот и Сундт (Sundt) продолжили изучение смешанного пуассоновского распределения со смешивающим распределением, которое является гамма-распределением со сдвигом с тремя параметрами. При таком подходе процесс наступления страховых случаев состоит из двух независимых компонент, пуассоновского процесса, который отражает общий вклад всех рисков, и отрицательного биномиального процесса, который отвечает за индивидуальный вклад определенного риска.

Трехпараметрическая смешанная пуассоновская модель Пейнджера (Panjer) является паскалевским обобщением пуассоновского распределения и содержит в качестве частных случаев отрицательное биномиальное распределение, распределение Пойа, неймановское типа А и пуассоновское обратное гауссовское распределение.

  • [1] Лемер Ж. Указ. соч. С. 50–61.
  • [2] Мак Т. Указ. соч.
  • [3] Лемер Ж. Указ. соч.
  • [4] Course/Exam 3 – Actuarial models. The Society of Actuaries and the Casualty Actuarial Society, May 2000.
  • [5] Миронкина Ю. Н., Скорик М. А. К вопросу статистического исследования риска в автотранспортном страховании // Экономика, статистика и информатика. Вестник УМО. 2007. №4. С. 60–67.
  • [6] Лемер Ж. Системы бонус-малус в автомобильном страховании: пер. с англ. М.: Янус-К, 2003; Мак Т. Математика рискового страхования: пер. с нем. М.: Олимп-Бизнес, 2005.
  • [7] Лемер Ж. Автомобильное страхование. Актуарные модели: пер. с англ. М.: Янус-К, 2003.
  • [8] Лемер Ж. Указ. соч.
  • [9] Лемер Ж. Указ. соч.
 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >