Определение оптимального уровня собственного удержания страховой компании при перестраховании

Определение оптимального уровня собственного удержания является важной и сложной актуарной задачей – ведь оптимальный уровень собственного удержания – это такая часть риска, оставив которую при данных условиях, страховая компания обеспечивает себе минимальную вероятность разорения при максимально возможной прибыли. Рассмотрим этот важный вопрос на конкретном примере.

ПРИМЕР 5.7^[1]

Страховая компания имеет 15 000 договоров, по которым в течение одного года могут быть выплачены: либо частичная компенсация в 2 ЕСС с вероятностью 0,001, либо полная компенсация в 15 ЕСС с вероятностью 0,0005 (1 единица страховой суммы ЕСС равна 100 000 у.е.). Вероятность разорения следует принять равной 0,05, рисковую надбавку страховщик рассчитывает по квантиль- ному принципу. Проанализируйте положение страховой компании – размер собираемой суммарной нетто-премии, как изменятся ожидаемые убытки, вероятность разорения и прибыль:

• а) без перестрахования;
• б) страховщик решает перестраховать большие риски (договор эксцедента убытка 13 ЕСС, превышающего 2 ЕСС), оставив на своем удержании 2 ЕСС, если рисковая надбавка перестраховщика равна 50%;
• в) определите оптимальный уровень собственного удержания ЕСС 2 < r < 15, обеспечивающий минимальную вероятность разорения при максимальной прибыли.

Решение

а) Введем следующие обозначения: Xi – ущерб страховщика в одном договоре, X – совокупный ущерб по всему портфелю,

По условию примера закон распределения ущерба для одного договора представлен в табл. 5.11.

Таблица 5.11

Распределение выплат страховщика

Рисковая премия будет равна:

для одного договора: РП = M(Xt) = 2 • 0,001 + 15 • 0,0005 + 0 к х 0,9985 = 0,0095 ЕСС;

для всего портфеля: СРП = М(Х) = 15 000 • 0,0095 = 142,5 ЕСС.

Вычислим дисперсию, среднее квадратическое отклонение и степень риска по всему портфелю:

Для вероятности разорения, равной ε = 0,05 имеем t ~ 1,645 – значение t для функции распределения стандартного нормального закона распределения (приложение 1) для Φ(ί) = 1 – ε = 0,95.

Тогда суммарная рисковая надбавка равна (2.17):

Получаем, что суммарная нетто-премия, собранная страховщиком по всему портфелю, равна:

Ожидаемые общие выплаты равны математическому ожиданию ущерба по портфелю – суммарному рисковому взносу в 142,5 ЕСС, тогда получаем, что ожидаемая прибыль будет равна суммарной рисковой надбавке в 68,73 ЕСС.

б) Проанализируем, как изменятся основные рассчитанные характеристики, если страховщик (цедент) решает оставить на собственном удержании только выплаты, равные 2 ЕСС. При таком условии риск страховщика до заключения договора о перестраховании X можно разбить на две части: Υ – оставленный на собственном удержании (риск цедента, табл. 5.12) и Ζ – риск, переданный перестраховщику (табл. 5.13):

Таблица 5.12

Распределение выплат цедента

Вычислим изменившиеся математическое ожидание, дисперсию и степень риска цедента:

Степень риска уменьшилась после перестрахования почти в 1,5 раза.

Таблица 5.13

Распределение выплат перестраховщика

Перестраховщику цедент должен передать суммарную рисковую премию:

А с учетом 50% рисковой надбавки перестраховщика его нетто- премия составит:

Итак, получаем, что страховая компания собрала со страхователей суммарную нетто-премию, равную 211,23 ЕСС, и заплатила перестраховщику 146,25 ЕСС, тогда оставшаяся нетто-премия цедента составит: (211,23 – 146,25) = 64,98 ЕСС.

Если убытки по портфелю будут равны математическому ожиданию ущерба, ожидаемая прибыль цедента снизится до 19,98 ЕСС (64,98 – 45,0).

Проанализируем, как изменилась вероятность разорения (с использованием нормальной аппроксимации и таблицы приложения 1).

Следовательно,

Получаем, что степень риска уменьшилась с 29,3 до 21,1% и вероятность разорения страховой компании снизилась с 5 до 1,75%, но ценой снижения нетто-премии с 211,23 до 64,98 ЕСС и ожидаемой прибыли с 68,73 до 19,98 ЕСС.

в) В предыдущем пункте выбор уровня собственного удержания осуществлялся без какого-либо либо обоснования. Является ли такой уровень оптимальным? Попытаемся математически обоснованно определить оптимальную величину собственного удержания, снижающую вероятность разорения и увеличивающую ожидаемую прибыль цедента.

Очевидно, что размер собственного удержания г может варьироваться от 2 до 15 ЕСС, и индивидуальный иск к прямому страховщику (цеденту) и перестраховщику будут иметь следующие законы распределения (табл. 5.14 и 5.15 соответственно).

Таблица 5.14

Распределение выплат цедента

Вычислим математическое ожидание и дисперсию риска цедента:

Таблица 5.15

Распределение выплат перестраховщика

Математическое ожидание выплат перестраховщика:

А с учетом 50%-й рисковой надбавки перестраховщика:

Страховая компания собрала со страхователей суммарную нетто-премию, равную 211,23 ЕСС, и заплатила перестраховщику (168,75 – 11,25 • г) ЕСС, тогда оставшаяся нетто-премия цедента составит (42,48 + 11,25 • г) ЕСС. Получаем, что ожидаемый доход цедента после перестрахования составит:

Разорение цедента наступит, если суммарные выплаты у него будут больше значения имеющихся в его распоряжении средств – остатка от собранной нетто-премии (сведений о собственных средствах компании нет). Вычислим вероятность разорения цедента, используя нормальную аппроксимацию:

Для минимизации этой вероятности надо максимизировать t (так как функция распределения F(t) – неубывающая функция при любом t). Экстремум находится приравниванием к нулю первой производной:

Производная может быть равна нулю, только когда числитель этой дроби равен нулю, откуда немедленно следует, что г = 2,403. Продолжим вычисление вероятности неразорения:

Таким образом, получаем, что если цедент увеличит размер собственного удержания до 2,40 ЕСС по каждому крупному риску, вероятность его разорения снизится до 1,74%, а ожидаемый доход возрастет по сравнению с предыдущим пунктом задачи до 21,49 ЕСС.

• [1] Прообраз задачи см.: Бауэрс Н., Гербер X., Джонс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика: пер. с англ. М.: Янус-К, 2001; Фалин Г. И., Фалин А. И. Теория риска для актуариев в задачах. М.: Мир; Научный мир, 2004.