Накопления. Интенсивность процентов

Выберем некоторый промежуток времени в качестве единичного (как правило, это один год) и предположим, что процентная ставка за этот промежуток равна г. Допустим, что в момент С0 = 0 сумма С инвестируется на п единиц времени. Принцип сложных процентов означает, что в момент () капитал С превратится в сумму

(6.1)

Рассмотрим теперь вопрос о том, как справедливым образом определить доход на капитал, который инвестирован на время п/р.

Обозначим эффективную процентную ставку для промежутка 1 через г'б'). Поскольку на единичный отрезок можно смотреть как пар последовательных отрезков длиной 1/р каждый, применяя формулу (6.1) мы получим, что

и поэтому

(6.2)

Рассматривая отрезок как п последовательных отрезков длиной каждый и применяя формулы (6.1) и (6.2), мы получим для суммы C(t), накопленной к моменту t = п/р, следующее выражение:

Предполагая непрерывность функции C(t), мы получим, что формула

(6.3)

верна для любого действительного числа .

Формула (6.3) описывает процесс накопления средств в ситуации, когда принят принцип сложных процентов, и является одной из основных формул финансовой математики.

Из формулы (6.3) следует, что относительная скорость накопления средств задается формулой

Соответственно, мгновенная относительная скорость накопления есть (согласно следствию из 2-го замечательного предела):

(6.4)

Величина 5 в финансовой математике называется интенсивностью процентов (force of interest).

Поскольку

(6.5)

формулу (6.3) для накоплений за время t можно переписать в виде:

(6.6)

В общем случае, когда условие не выполняется, интенсивность процентов и накопления капитала связаны между собой соотношениями:

Таким образом, накопление суммы С, которую надо будет выплатить через время t составит:

Обозначим через отношение величины вклада в момент t2 к величине вклада в момент ί,• Эту величину называют коэффициентом накопления за промежуток времени .

Поскольку (по определению) верно равенство

ПРИМЕР 6.1[1]

Банк начисляет проценты по вкладам, используя коэффициенты накопления, основанные на переменной интенсивности процентов. 1 июля 1983 г. клиент положил £ 50 000 в банк. На 1 июля 1985 г. его вклад вырос до £ 59 102. Предполагая, что интенсивность процентов являлась линейной функцией времени в течение всего периода с 1 июля 1983 г. по 1 июля 1985 г., найдите интенсивность процентов 1 июля 1984 г.

Решение

Примем 1 июля 1983 г. в качестве начального момента времени, а один год – в качестве единицы измерения времени. Тогда 1 июля 1985 г. – это момент t = 2, а 1 июля 1984 г. – момент t = 1.

Поскольку (по условию) δ(ί) – линейная функция от t, она дается формулой

где а и h – некоторые параметры.

Тогда для коэффициента накопления за промежуток (0, t) имеем:

Известно, что /1(0, 2) = 59 102/50 000 = 1,18204.

С другой стороны, из полученной выше формулы для /1(0, t) следует, что .

Нас интересует Сумма фигурирует в вышеприведенной формуле для /1(0, 2), откуда ее легко найти:

Значит, интенсивность процентов на 1 июля 1984 г. была равна 8(1) = 0,083621.

  • [1] McCutcheon J..J., Scott W. F. An Introduction to the Mathematics of Finance. Buttenvorth-Heinemann, 1986.
 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >