Номинальные процентные ставки
Рассмотрим промежуток времени длиной 1 /р. Если в качестве единицы измерения принят один год, то наиболее важными являются случаи: //=12 (рассматриваемый промежуток времени равен одному месяцу), р=4 (для промежутка времени один квартал), р = 2 (рассматриваемый промежуток времени равен полугодию). Эффективная процентная ставка /Ф) за этот промежуток времени составляет
При этом в финансовой математике принято характеризовать доходность вложения средств па промежутке 1 /р не эффективной (т.е. реальной) процентной ставкой , а так называемой номинальной процентной ставкой
(nominal rate of interest):
(6.7)
Следует отметить, что номинальная процентная ставка служит лишь удобным способом описания реально применяемой эффективной ставки
Из формул (6.2) и (6.5) мы имеем:
(6.8)
ПРИМЕР 6.2
Пусть эффективная годовая процентная ставка г = 12%. Найдите ежемесячные, квартальные и полугодовые эффективные и номинальные процентные ставки.
Решение
Согласно формуле (6.2):
Тогда эффективные процентные ставки равны:
месячная
квартальная
полугодовая
Они показывают, как реально начисляются проценты каждый период времени .
Соответствующие номинальные процентные ставки находятся по формуле (6.7):
Таким образом, расчетные значения номинальных процентных ставок равны:
месячная
квартальная
полугодовая
Как видим, номинальные процентные ставки отличаются от годовой эффективной.
Иногда величину i00 называют поминальной процентной ставкой, выплачиваемой (начисляемой) с частотой р (nominal rate of interest payable (convertible) pthly). Понятие номинальной процентной ставки, а также формулы (6.7) и (6.2) очень важны при расчете рент, страховых премий, пенсий.
Приведенная ценность денег. Коэффициент дисконтирования
Предположим, что в момент времени t > 0 в будущем мы должны будем выплатить некоторую сумму С. Возникает вопрос, какую сумму C(–t) необходимо вложить сейчас (в момент ί0 = 0), чтобы к моменту t иметь в точности требуемую сумму С? Как следует из параграфа 6.1.3, для этой суммы выполняется соотношение:
(6.9)
Формулы (6.3) и (6.9) означают, что ценность денег постоянно меняется с течением времени.
ПРИМЕР 6.3[1]
Пусть эффективная годовая процентная ставка i = 12%, тогда сумма С = 1000 руб. в настоящий момент превратится в сумму 1000(1 + г) = 1120 руб. спустя один год. В то же время, С = = 1000 руб. в настоящий момент может быть получено инвестированием 1000(1+ i) 1 = 892,86 руб. годом раньше. Если, например, в момент t0 = 0 нам должны вернуть 1000 руб, то мы можем согласиться на возврат 892,86 руб. в момент t = -1 (поместив их в банк, мы все равно получим в момент t0 = 0 сумму 1000 руб.). Однако, в момент t = 1 мы должны требовать возврата 1120 руб. Ведь если бы в момент f0 = 0 нам вернули 1000 руб, то поместив их в банк, к моменту /: = 1 мы бы имели 1120 руб.
Таким образом, суммы
- 892,86 руб. в момент ¢=-1,
- 1000 руб. в момент ¢ = 0,
- 1120 руб. в момент ¢ = +1 в сущности, эквивалентны (при фиксированной процентной ставке i = 12%). Это означает, что ценность денег постоянно меняется с течением времени.
Поэтому производить любые сравнения, сложения и т.п. над денежными суммами можно только при условии, что все эти суммы рассматриваются в один и тот же момент времени.
Как следует из (6.9) ценность суммы С в момент t > 0 есть
Если t < 0, то стоимость в момент ί0=0 суммы С в момент t равна сумме, накопленной за время t'= -t. Как следует из раздела 6.1.3, эта сумма равна
Таким образом, вне зависимости от знака t, ценность в момент ί0 = 0 суммы С в момент t есть
(6.10)
Величина P{t) называется современной ценностью {present value, PV) суммы С в момент t. В литературе встречаются термины современная стоимость, приведенная стоимость и т.д.
Приведенная ценность единичной суммы (С= 1) обозначается ν(ί):
(6.10а)
Величину
(6.106)
называют коэффициентом дисконтирования (учета) (discount factor). Тогда формула приведенной стоимости (6.10) примет вид:
(6.11)
Коэффициент дисконтирования показывает, какую величину v нужно вложить сейчас при процентной ставке i, чтобы через год получить единичную сумму С = 1.
Поскольку начальный момент времени может быть выбран произвольно, ценность Сх в момент суммы С2 в момент t-2 дается формулой:
Отсюда следует, что– эта формула выражает одинаковую ценность обеих сумм в момент
ПРИМЕР 6.4[2]
Пенсионный фонд должен выплатить участнику 26 000 руб.:
- • 5000 руб. 1 июня 2009 г.;
- • 6000 руб. 1 февраля 2012 г.;
- • 7000 руб. 1 ноября 2013 г.;
- • 8000 руб. 1 мая 2015 г.
Найдите величину обязательств фонда по отношению к этому участнику на 1 января 2008 г. Техническая процентная ставка, используемая фондом для оценки своих обязательств, i = 5%.
Решение
Пусть время измеряется в годах, начиная с 1 января 2008 г., а один месяц равен 1/12 года. Тогда:
- • 1 июня 2009 г. – это момент
- • 1 февраля 2012 г. – это момент
- • 1 ноября 2013 г.– это момент
- • 1 мая 2015 г. – это момент
Коэффициент дисконтирования v дается формулой
поэтому величина обязательств фонда на 1 января 2008 г. равна
Эффективная и номинальная учетная ставка, связь с другими финансовыми показателями
Предположим, что в момент t0 = 0 мы даем взаймы сумму С. В таком случае в момент t = 1 нам должны вернуть сумму С-(1 + г), которая состоит из двух частей: возврата основного капитала С и процентов на капитал С'= С-i.
Сумма С-i в момент t = 1, будучи приведенной к моменту t0 = 0, имеет ценность
Поэтому проценты на капитал могут быть выплачены и заранее, в момент t0 = 0 получения займа. Тогда, из полученных выше формул, эти проценты, выплачиваемые вперед, составляют d = i/(i + 1) от первоначальной суммы займа С.
Величина d называется эффективной учетной ставкой (effective rate of discount) за единицу времени.
Учетная ставка d может быть выражена как через интенсивность процентов 5, так и через коэффициент дисконтирования ν:
(6.12)
Предположим, что теперь сумма С = 1 дается в долг на время 1 /р с предварительной выплатой процентов. При этом эффективная процентная ставка за период 1 /р есть
Именно эта сумма должна быть выплачена в момент t = /р в виде процентов. Если ее привести к моменту ф = О, то согласно (6.10) она будет иметь ценность
Так как i = ¢/(1 – d), то для эффективной учетной ставки ¢/00 за время 1 /р получим формулу:
(6.13)
Однако в финансовой математике, как уже отмечалось, принято работать не с эффективными (т.е. реальными) учетными ставками за время 1 /р, а с так называемыми номинальными (т.е. условными, не существующими реально) учетными ставками (nominal rate of discount)•.
(6.14)
Из формулы (6.13) получим:
(6.15)
Величину ¢/(/0 называют номинальной учетной ставкой, начисляемой с частотой р (nominal rate of discount convertible pthly).
Понятие номинальной учетной ставки, а также формулы (6.14) и (6.15) очень важны при расчете рент, страховых премий и пенсий.
ПРИМЕР 6.5[3]
Проценты по определенному банковскому счету начисляются в соответствии с переменной интенсивностью процентов:
В момент на счет кладется сумма 100 у.е., а в момент t = 3 вносится дополнительная сумма X. Найдите эту сумму, если известно, что она равна процентам, начисленным за промежуток времени
.
Решение
Предположим, что в момент Ц сделан вклад в размере 1.
Введенный выше коэффициент накопления
В нашем случае так что
В момент t = 3 + 0 на счете будет сумма а в момент t = 6 она вырастет до
Поэтому проценты за промежуток равны
С другой стороны, по условию эти проценты равны X. Решая получившееся уравнение, получаем: