Детерминированные постоянные ренты

Рассмотрим п последовательных единичных промежутков времени (0, 1),..., (п – 1, п). Под моментом t0=0 мы обычно будем подразумевать настоящий момент, а в качестве единичного промежутка времени будем рассматривать один год (можно применять полученные формулы к неделе, месяцу, кварталу и т.д.).

Серия из п выплат, каждая величиной 1, сделанных в конце этих промежутков, т.е. в моменты 1, 2, ..., п, называется запаздывающей рентой (annuity payable in anear или immediate annuity) или рентой постнумерандо (рис. 6.1).

0 1 2 3 ... η-1 η

Рис. 6.1. Приведенная (современная) стоимость постоянной запаздывающей ренты (постнумерандо)

Серия из п выплат, каждая величиной 1, сделанных в начале этих промежутков, т.е. в моменты 0, 1,2, ..., η – 1, именуется упреждающей рентой (annuity payable in advance или annuity-due) или рентой пренумерандо (рис. 6.2).

Приведенная (современная) стоимость постоянной упреждающей ренты (пренумерандо)

Рис. 6.2. Приведенная (современная) стоимость постоянной упреждающей ренты (пренумерандо)

Различие между запаздывающей и упреждающей рентой условное и связано с выбором начала отсчета. Ясно, что если в качестве начального момента выбрать момент t = 1, то запаздывающая рента может рассматриваться как упреждающая.

Приведенная ценность запаздывающей (упреждающей) ренты в момент ί0=0 в финансовой математике обозначается ац (соответственно, ац). Иными словами, ац (соответственно, а д) – это современная стоимость серии из п платежей величины 1, производимых через единичные интервалы, на единицу времени раньше, чем момент первого платежа (соответственно, в момент первого платежа).

Чтобы подсчитать эти величины, приведем каждый из п платежей к начальному моменту времени t()=0, затем сложим полученные значения:

(6.19)

(6.20)

Суммируя эти геометрические прогрессии с показателем q=v, получим:

(6.21)

(6.22)

ПРИМЕР 6.7[1]

Эксперты негосударственного пенсионного фонда предполагают, что на протяжении ближайших пяти лет эффективная годовая процентная ставка будет равна г, = 10%. На протяжении следующего пятилетия ожидается годовая процентная ставка i-> = 6%. Человек покупает десятилетнюю ренту с выплатой в конце каждого года 1000 руб. Подсчитайте ее стоимость.

Решение

Приведенная ценность в настоящий момент ί0 = 0 пяти годовых платежей в моменты 1, 2, 3, 4, 5 равна 1000 • α^@ίι, где символ @ij указывает эффективную годовую процентную ставку на промежутке, который рассматривается в качестве единичного, т.е.

Приведенная ценность в момент % = 5 пяти годовых платежей в моменты 6, 7, 8, 9, 10 равна

Чтобы привести эту сумму к моменту Ц = 0, умножим ее на, что даст " 2616 руб.

Итак, стоимость ренты равна:

В тривиальном случае i = 0, когда ценность денег не меняется с течением времени, очевидно, а ^ = а ц = п.

Кроме того, удобно положить ац=а 0| = 0. Это согласуется с общепринятым принципом считать суммы из нулевого количества слагаемых равными нулю.

Величины ац и а й позволяют подсчитать величину суммы, которую нужно инвестировать в данный момент для того, чтобы получать фиксированный регулярный доход в будущем (например, пенсию). С их помощью также можно определить величину регулярных выплат в случае, когда долг возвращается не одним платежом, а серией одинаковых платежей.

Бывает важно знать ценность ренты не в начальный момент времени, а в конце последнего платежного периода. Эту ценность можно интерпретировать как общую сумму, накопленную на банковском счете после серии регулярных взносов. Ее обозначают так же, как и соответствующую приведенную стоимость в начальный момент, но с заменой буквы а на букву s.

Итак, s^i – это приведенная стоимость запаздывающей ренты (постнумерандо) в момент t„=n последнего платежа, Sji| – приведенная стоимость упреждающей ренты (пренумерандо) в момент £„=", т.е. спустя единицу времени после последнего платежа.

Формулы для приведенных к концу платежного периода стоимостей Sa, i'-• можно получить непосредственно, приведя каждый из п платежей к моменту времени t„=n и затем суммируя полученные значения:

Приведенная к концу платежного периода стоимость постоянной запаздывающей ренты (постнумерандо)

Рис. 6.3. Приведенная к концу платежного периода стоимость постоянной запаздывающей ренты (постнумерандо)

Приведенная к концу платежного периода стоимость постоянной упреждающей ренты (пренумерандо)

Рис. 6.4. Приведенная к концу платежного периода стоимость постоянной упреждающей ренты (пренумерандо)

Эти же формулы можно получить, приводя к моменту t,=n значение стоимости соответствующей ренты, приведенной к моменту времени /0=0:

(6.23)

(6.24)

Введенные выше величины связаны между собой различными тождествами. Часть из них уже приведена. Интересными с точки зрения финансовой интерпретации являются следующие формулы[2]:

(6.25)

(6.26)

(6.27)

(6.28)

Они легко доказываются алгебраическими преобразованиями. Например, для формулы (6.25) эта интерпретация выглядит следующим образом.

Поместим в момент ί0 = 0 на счет сумму С = 1. В момент t{ = 1 мы получим в виде процентов сумму i и неизменный исходный капитал С = 1. Снимем сумму i со счета, а капитал инвестируем еще на один промежуток времени и т.д.

В момент t„ = п снимем со счета проценты i и исходный капитал С = 1. Таким образом, капитал С = 1, инвестированный в момент £0 = 0 производит:

  • • серию из п платежей величины i каждый в конце каждого единичного периода, т.е. запаздывающую ренту; ее ценность в момент t(] = 0 есть ia-„,
  • • платеж суммы С = 1 в момент tn = гг, ее ценность в момент t0 = 0 есть 1 • v” = v".

Поэтому формула (6.25) выражает равенство в момент £0 = О произведенных расходов и полученных доходов.

  • [1] Фалин Г. И. Указ. соч.
  • [2] Фалин Г. И. Математические основы теории страхования жизни и пенсионных схем. М.: Анкил, 2007.
 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >