Детерминированные постоянные ренты, отложенные на от лет

Рассмотренные выше рентные платежи начинались на первом же промежутке (0, 1) (в начале его, т.е. в момент £0=0, для упреждающей ренты и в конце, т.е. в момент £, = 1, для запаздывающей ренты). Для практического использования важны так же так называемые отсроченные ренты (deferred annuities). Чтобы их определить, рассмотрим последовательные единичные промежутки времени (0,1), (1,2), ..., (от- 1, от),..., (от + п – 1, от + и). Как и раньше, под моментом t0 = О мы будем подразумевать настоящий момент.

Серия из п выплат, каждая величиной 1, сделанных в конце промежутков (от, от + 1), ..., (от + η – 1, от + и), т.е. в моменты от +1,..., от + п называется запаздывающей (постнумерандо) отсроченной рентой (deferred immediate annuity) (рис. 6.5). Ее ценность в настоящий момент £0=0 обозначается таул. Чтобы подсчитать эту величину, приведем каждый из п платежей в моменты от + 1, ..., т + п к начальному моменту времени, а затем сложим полученные значения:

(6.29)

Аналогично серия из п выплат, каждая величиной 1, сделанных в начале промежутков (от,от+ 1), ..., (т + п- 1,от + и), т.е. в моменты от, ..., т + п – 1, называется отсроченной упреждающей (пренумерандо) рентой (deferred annuity due). Ее ценность в настоящий момент £0 = 0 обозначается тйц. Чтобы подсчитать эту величину, приведем каждый из п платежей в моменты от,..., т + п- 1 к настоящему моменту времени, а затем сложим полученные значения:

(6.30)

Приведенная (современная) стоимость постоянной отсроченной на т периодов запаздывающей ренты (постнумерандо)

Рис. 6.5. Приведенная (современная) стоимость постоянной отсроченной на т периодов запаздывающей ренты (постнумерандо)

Формулы (6.29) и (6.30) можно определенным образом преобразовать с тем, чтобы выразить отсроченные ренты через обычные. Во-первых, вынося в правых частях (6.29) и (6.30) за скобку общий множитель ν'” получим:

(6.31)

(6.32)

Эти формулы легко интерпретируемы и просты для понимания. Они показывают, что для того, чтобы оценить в момент 0 серию отсроченных платежей на интервалах (те, те + 1), ..., (те + η – 1, те + я), можно сначала оценить эту серию в момент те (так как это начальная точка первого интервала из серии, речь идет об обычной рентеили, а затем привести полученный результат на те единиц времени левее, т.е. к моменту 0.

Кроме того, дополняя заданные суммы (6.29) и (6.30) начальными слагаемыми до сумм вида (6.19) и (6.20), получим:

(6.33)

Аналогично для ренты пренумерандо:

(6.34)

Для отсроченных рент специальные обозначения для накоплений к концу платежного периода не нужны, так как с точки зрения последнего промежутка времени отсроченная рента не отличается от соответствующей обычной. Иными словами, допустим, что мы решим обозначить через значение отсроченной запаздывающей ренты в конце последнего платежного периода (т.е. в момент т + п). Приводя п единичных платежей в моменты т + 1, ..., т + п к моменту т + п, мы имели бы

ПРИМЕР 6.8[1]

Новый участник негосударственного пенсионного фонда, только что заключивший пенсионный договор, приобретет право на получение негосударственной пенсии через 7 лет. Он желал бы:

  • • сделать разовый пенсионный взнос в момент заключения пенсионного договора;
  • • получать пенсию раз в год на протяжении 12 лет;
  • • размер пенсии должен учитывать инфляцию и быть равен 5000 у.е. в нынешних ценах.

Предполагается, что на протяжении ближайших 6 лет инфляция будет практически нулевой, а затем составит около 1,2% в год.

Фонд размещает пенсионные резервы и обеспечивает участникам фонда инвестиционный доход в размере i = 6,3% годовых.

Определите размер разового пенсионного взноса.

Решение

С учетом инфляции номинальный размер п-й пенсионной выплаты (п = 1,..., 12) будет равен 5000 • 1,012", а производиться эта выплата будет в момент 6 + п (мы принимаем момент заключения договора в качестве начального, а один год – в качестве единицы времени). Современная стоимость этой серии из 12 платежей равна

  • [1] Course/Exam 2Economics, Finance and Interest Theory. The Society of

    Actuaries and the Casualty Actuarial Society, May 2000.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >