Ренты, выплачиваемые с частотой р

Рассмотрим п последовательных единичных промежутков времени (0, 1), (1, 2), ..., (п – 1, ή). Под моментом £0 = 0 обычно подразумевается настоящий момент, а в качестве единичного промежутка времени рассматривается один год.

Разобьем каждый из п единичных промежутков на р равных частей длиной 1 каждая. Если, как мы отмечали, в качестве единицы времени принят один год, то наиболее интересными являются случаи: р = 12 (промежуток времени 1 соответствует одному месяцу), р = 4 (промежуток времени 1 соответствует одному кварталу), р = 2 (промежуток времени 1 /р соответствует одному полугодию).

Серия из пр выплат, каждая величиной 1 /р, сделанных в конце этих подпромежутков, т.е. в моменты 1 /р, ..., р/р = 1; 1 + 1 1 + р/р = 2;...; η – 1 + 1 ;...; η – 1 + р/р = п, называется запаздывающей (постнумерандо) рентой, выплачиваемой с частотой р (annuity payable /Л 111 у in arrear или immediate annuity payable /Д Ыу). Ее ценность в настоящий момент £0 = 0 обозначается ацд> а приведенная стоимость в момент ί„ = п последнего платежного периода называется накоплением и обозначается

Обратим внимание на то, что каждая выплата имеет величину 1/р, так что в качестве единицы измерения денежных сумм рассматривается алгебраическая сумма всех выплат за единичный промежуток времени (в типичном случае – за год). Например, если на протяжении 5 лет в конце каждого месяца выплачивается 100 руб., то в качестве единицы измерения денежных сумм выступает 1200 руб. (так как ее 1/12 часть равна 100 руб.) и поэтому ценность этой ренты в настоящий момент равна 1200"5|(12), а накопления к концу пятилетнего срока – 1200sj|(12).

Серия из пр выплат, каждая величиной 1 /р, сделанных в начале подпромежутков, т.е. в моменты 0, 1 ,..., (р – 1)/р; 1,1 + 1 /р, ..., 1+(/9- 1 )/р; ...; п – 1, п – 1 + /р, ..., п – 1 + + (р-1)/р, называется упреждающей (пренумерандо) рентой, выплачиваемой с частотой р (annuity payable /лЫу in advance или pthly annuity-due). Ее ценность в настоящий момент t0 = 0 обозначается а щ(р а ценность в момент £„ = п последнего платежного периода называется накоплением и обозначается Ицд>).

Величины и , так же как и величины и , оценивают одну и ту же серию платежей, но в разные моменты времени (ί„ = 0 и tn = п).

Поэтому с помощью формул (6.10) и (6.11) между ними может быть установлена простая связь:

(6.47)

(6.48)

(6.49)

(6.50)

Таким образом, достаточно получить формулы только для величини. Поскольку упреждающая и запаздывающая ренты отличаются только в начальный и конечный моменты времени, мы имеем:

(6.51)

Действительно, чтобы получить серию платежей, описываемую aJp), нужно из серии платежей, описываемой', убрать платеж суммы в момент ί„ = п. Однако поскольку все платежи приводятся к моменту /0 = 0, последняя операция приводит к появлению члена (1 /p)v", который дает ценность в момент t0 = 0 платежа 1/р в момент t„ = п.

Итак, нам достаточно получить формулу для величины

С этой целью рассмотрим в качестве единичного отрезка времени р-ю долю первоначального единичного отрезка (например, если р = 12 и исходный единичный промежуток времени был один год, то новым единичным отрезком времени будет один месяц). Эффективная процентная ставка для этого нового единичного отрезка равна, где |(р) – номинальная процентная ставка для основного единичного промежутка, начисляемая с частотой р.

Соответственно, новая учетная ставкаесть

а новое значение коэффициента дисконтирования есть

Теперь на упреждающую ренту, выплачиваемую с частотой р на промежутке (0, п), можно смотреть как на обычную упреждающую ренту, выплачиваемую на промежутке (0, пр). Поскольку каждая выплата равна 1 /р, мы имеем:

(6.52)

где символ @i указывает эффективную процентную ставку на промежутке, который рассматривается в качестве единичного.

Используя формулу (6.7), а затем (6.15), (6.12) и формулу (6.22), мы имеем (для нового единичного промежутка параметры i, d, v нами обозначены как):

(6.53)

Теперь дляиз формулы (6.51) получим:

С помощью (6.15), (6.8), (6.21) это равенство можно привести к виду

(6.54)

Мы определили величиныитолько для целых значений п. Прием с введением новой единицы времени позволяет определитьи> в случае, когда t = п + k/p, 0 < k < п – 1. Именно,

(6.55)

Теперь

(6.56)

По аналогии с обычными отсроченными рентами можно ввести отсроченные ренты, выплачиваемые с частотой р. Чтобы их определить, рассмотрим последовательные единичные промежутки времени

и разобьем каждый из п единичных промежутков , т + 1), ..., (т + п – 1, т + п) нар равных частей длиной 1 каждая.

Серия из пр выплат, каждая величиной 1 /р, сделанных в конце (начале) этих подпромежутков, называется отсроченной запаздывающей (соответственно, упреждающей) рентой, выплачиваемой с частотой р (английские термины deferred immediate annuity payable pthly и deferred annuity-due payable pthly, соответственно), а ее целостность в настоящий момент t0 = 0 обозначается ту 7|| (соответственно, md7f).

Как мы уже отмечали, различие между отсроченными рентами и обычными связано только с выбором начального момента времени. Если в качестве начального рассмотреть момент t,„ = т, то приведенная ценность описанных только что рент будет равнаисоответственно. Чтобы привести стоимость рент к моменту ί0 = 0, достаточно умножить эти числа на ν'", что дает следующие формулы, аналогичные (6.16) и (6.17):

(6.57)

(6.58)

Основные формулы (6.31) и (6.32) можно получить также с помощью замены одной серии платежей другой, основываясь па понимании финансовой природы процентов.

Предположим, что капитал 1 инвестируется в момент ί0 = 0. За время 1 он заработает сумму i(P)/j9 в качестве процентов (по определению процентной ставки ι'ύ")). Мы можем в момент 1 снять эту сумму со счета и иметь остаток 1, равный первоначальному капиталу. К моменту 2/р этот капитал опять заработает сумму №>/р в качестве процентов. Мы можем в момент 2/р снять эту сумму со счета и иметь остаток 1, равный первоначальному капиталу, и т.д.

Следовательно, капитал 1, который инвестирован в момент 1() = 0, произведет серию платежей величиной гФ)/р в моменты 1 /р, 2/р, ..., р/р = 1 и при этом в момент t= 1 мы будем иметь на счете исходный капитал 1. Из соображений пропорциональности, капитал 1 /г'О'), инвестированный в момент t0 = 0, произведет серию платежей величиной 1 в моменты 1 /р, 2/р, ..., р/р = 1 и при этом в момент t = 1 мы будем иметь на счете исходный капитал 1 /№).

Рассматривая приведенные ценности в момент ί0 = 0 исходного капитала С = 1 /i<W, запаздывающей ренты, выплачиваемой с частотой р на промежутке (0, 1), и остатка на счете С = 1 /г(Р~> в момент t = 1, мы имеем:

Таким образом, запаздывающая рента, выплачиваемая с частотой р на промежутке (0, 1), равносильна одному платежу величиной (I/ /'(г) в момент ί0 = 0. В свою очередь этот платеж в момент t= 1 имеет ценность (d/№))(i+1) = (i/i<J>)). Итак, мы можем заменить запаздывающую ренту, выплачиваемую с частотой р на промежутке (0, 1), одиночной выплатой г/г(р) в момент t = 1. Соответственно, запаздывающая

т.е.

рента, выплачиваемая с частотой р на промежутке (0, и), может быть заменена серией выплат величиной каждая в моменты ί = 1,2, п. Эта серия по определению является обычной запаздывающей рентой, выплачиваемой раз в год, и поэтому ее ценность в момент f0 = 0 есть , что и доказывает справедливость формулы (6.54).

ПРИМЕР 6.13[1]

Стоимость пожизненной ренты, которая обеспечивает выплату суммы 10 через каждые три года, начиная с конца шестого года после приобретения ренты, равна 32.

Используя ту же техническую процентную ставку г, найдите стоимость запаздывающей пожизненной ренты, которая обеспечивает выплату постоянной суммы 1 каждые четыре месяца.

Решение

Пусть v = l/(l+i) – коэффициент дисконтирования. Тогда стоимость первой ренты равна .

Используя условие а'= 32, для v получим уравнение

откуда

Теперь можно найти стоимость а "второй ренты:

ПРИМЕР 6.14[2]

1 января 1985 г. Джим начал копить деньги на старость и внес $200 в пенсионный фонд. В последующем он вносил такую же сумму в начале каждого месяца. В конце ноября 1989 г. Джим потерял работу и перестал вносить деньги в фонд. В конце 1990 г. он нашел работу и с 1 января 1991 г. опять начал вносить по $200 ежемесячно.

Фонд размещает пенсионные резервы и обеспечивает участникам фонда инвестиционный доход в размере /<12) = 6% годовых, начисляемых на их пенсионные счета ежемесячно.

Определите, какую сумму накопил Джим к концу 1999 г.

Решение

Примем один месяц в качестве единицы времени, а $200 – в качестве единицы измерения денежных сумм. Эффективная процентная ставка за этот единичный промежуток равна = = (1/12) 0,06 = 0,005.

Пенсионные взносы с 1 января 1985 г. по 1 ноября 1989 г. (включительно) можно рассматривать как постоянную ренту; общее число платежей равно п = 59.

С 1 ноября 1989 г. до 31 декабря 1999 г. пройдет 122 месяца, и поэтому к концу 1999 г. эта сумма вырастет до

Пенсионные взносы с 1 января 1991 г. но 1 декабря 1999 г. (включительно) можно рассматривать как постоянную ренту; общее число платежей равно п = 108. Стоимость этой серии платежей в момент последнего платежа (1 декабря 1999 г.) есть

С 1 декабря до 31 декабря 1999 г. пройдет 1 месяц, и поэтому к концу 1999 г. эта сумма вырастет до

Поэтому пенсионные накопления к концу 1999 г. будут равны 269,1991681 (у.е.), или, в абсолютных цифрах, примерно $53 839,83.

  • [1] Course/Exam 2Economics, Finance and Interest Theory. The Society of Actuaries and the Casualty Actuarial Society, May 2001.
  • [2] Course/Exam 2Economics, Finance and Interest Theory. The Society of Actuaries and the Casualty Actuarial Society, May 2000.
 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >