Непрерывные характеристики продолжительности жизни

Функция дожития

Классические таблицы смертности отражают значения показателей с интервалом, равным одному году. Однако на практике люди редко умирают в день своего рождения. Процесс вымирания совокупности людей является непрерывным.

В теории вероятностей[1] стохастическую природу любой случайной величины X описывают функцией распределения F(x). Она определяется как вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее х.

(7.13)

В демографической статистике F(x) называется функцией распределения продолжительности предстоящей жизни (lifetime distribution) и соответствует вероятности того, что новорожденный умрет до достижения возраста х лет.

В актуарной математике принято работать с дополнительной функцией распределения:

График функции дожития s(x)

Рис. 7.1. График функции дожития s(x)

которая показывает вероятность того, что случайная величина X не меньше, чем некоторое число х. Применительно к продолжительности жизни, s(x) = 1 – F(x) – это безусловная вероятность того, что человек (новорожденный) доживет до возраста х лет. Функция ,ν(.τ) называется функцией дожития (выживания) {survival function):

(7.15)

Свойства функции дожития:

  • 1) s(x) – функция убывающая;
  • 2) функция s(x) непрерывна справа;
  • 3) 5(+00) = 0;
  • 4) 5(0) = 1.

Функция дожития является строго убывающей. В противном случае существовал бы фиксированный неслучайный период в жизни людей, когда смерть невозможна.

Функция дожития непрерывна, так как в противном случае существовал бы некоторый фиксированный момент в жизни человека, в который он умирал бы с положительной вероятностью. Это замечание приводит к тому, что функцию дожития можно было бы определить и как Р(Х >х) (понимая под функцией распределения Р(Х<х)).

Так, в таблицах смертности обычно считают, что существует некоторый предельный возраст ω (как правило, ω = = ЮО-г-120 лет) и соответственно s(.r) = 0 при х> ω. В то время как при описании смертности аналитическими законами обычно считают, что время жизни неограниченно. Однако при этом подбирают вид и параметры законов так, чтобы вероятность жизни свыше некоторого возраста была бы пренебрежимо мала.

Функция дожития s(x) описывает среднюю долю живых представителей некоторой фиксированной группы новорожденных к моменту х.

(7.16)

Другими словами, из 100 000 рожденных в 2009 г. в России мальчиков до 30-летнего возраста доживут 94 344 человека (приложение 9).

Обозначим Т – продолжительность жизни новорожденного, а Тх как остаточную продолжительность жизни – время, которое проживет еще человек, достигнув возраста х. Тогда функция дожития примет вид

(7.17)

и будет обозначать условную вероятность того, что человек возраста х лет, доживет до (х + I.) лет:

(7.18)

Тогда:

(7.19)

Условная вероятность того, что человек возраста х лет умрет в промежутке от х до (х + t) лет определяется по формуле

(7.20)

Условная функция дожития sx(t) описывает среднюю долю живых возраста (х + t) лет из группы лиц, доживших до возраста х лет:

(7.21)

Кривая смертей

Введем новую случайную величину ,DX, как число умерших в возрасте от х до (х + t) лет из фиксированного числа /0 новорожденных. Она связана с величиной L(x), выражающей число живых представителей группы новорожденных /0 к моменту х, соотношением

(7.22)

Математическое ожидание случайной величины, т.е. среднее число представителей группы, умерших в возрасте от х до (х + t) лет, обозначается:

(7.23)

Используя формулу (7.22), получаем:

(7.24)

где– вероятность смерти в промежутке (х, х + t).

В актуарной математике часто встречается ситуация ί = 1 год. В этом случае индекс I, указывающий на то, что рассматриваемая величина относится к периоду 1 год, опускается:

(7.25)

Тогда вероятность смерти в промежутке (x, х + 1):

(7.26)

где с – некоторое число между возрастом х и (х + 1).

Так как s '(х) мало меняется на протяжении одного года, можно считать, что верно приближенное равенство

(7.27)

Величина

(7.28)

называется в теории вероятностей плотностью случайной величины X с функцией распределения F(.г). Она описывает в актуарных расчетах долю умерших в возрастном интервале (х, х + 1) из исходной группы /0 новорожденных. При малых значениях п величина -s х) t приближенно описывает долю умерших в возрасте от х до (х + t) лет из исходной группы /0 новорожденных. В актуарной математике (рафик плотности /(.г) (или график IqJ(x)) называют кривой смертей (the curve of deaths).

Поскольку функция выживания л(.г) убывает, то плотность /(.г) = -s'(x) – неотрицательна, т.е. f(x) > 0.

Кроме того, из свойств функции дожития справедливы соотношения:

(7.29)

(7.30)

Эти свойства являются характеристическими свойствами кривой смертей, т.е. если некоторая кривая обладает этими свойствами, то она является кривой смертей и может быть использована в качестве первичной характеристики продолжительности жизни.

  • [1] Вентцель E. С. Указ. соч.
 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >