Расчет премий для договоров страхования жизни с выплатами в конце года смерти (дискретных)

С теоретической точки зрения важен случай, когда выплата производится в конце года смерти. Такой вид страхования называется дискретным. Рассмотрим разовые нетто-премии для конкретных дискретных видов договоров страхования жизни.

Договор страхования на дожитие

Страхование на дожитие относится к накопительному виду страхования. Страхование на чистое дожитие заключается в страховании заданной суммы денег на заданный срок. Страховое событие, влекущее выплату страховой суммы, состоит в дожитии застрахованного до конца указанного срока. В случае смерти застрахованного в период действия договора страхования сумма не выплачивается и премии не возвращаются. Страхование на чистое дожитие редко используется отдельно, чаще являясь составной частью других контрактов. Данный вид страхования делает страховой полис относительно дорогим, если срок страхования нс очень большой.

Единовременная ставка по такому контракту рассчитывается следующим образом. Пусть существует группа из 1Х страхователей возраста х лет. Они хотят купить полисы страхования па дожитие до возраста (х + п) лет. В среднем, до возраста (х + п) лет доживут (согласно таблицам смертности) 1х+п человек.

Суммарные обязательства компании в этом случае составят сумму Однако, эта сумма относится к моменту времени, отстоящему от момента заключения контракта на п лет, поэтому ее требуется дисконтировать по выбранной процентной ставке i: v" • /v+„. Так как исходное число застрахованных равно /г, то, обозначая величину единовременной ставки через Ах.ц (в литературе может встречаться другое обозначение – пЕх), получим, что общая сумма ставок составит:

Приравнивая обязательства по выплатам и полученные средства, можно записать уравнение баланса:

откуда:

, или, так как

вероятность дожить до возраста х+п лица, достигшего возраста х, Лг:|| = пЕх в актуарной литературе встречаются оба обозначения единовременной ставки по договору страхования на дожитие.

ПРИМЕР 8.2

Определите ожидаемую (актуарную) стоимость единичной суммы при страховании на дожитие сроком на 5 лет для мужчины в возрасте 40 лет. Годовая норма доходности – 5%. Для расчетов использовать данные таблиц смертности (приложение 10).

Решение

Определим годовой дисконтный множитель:

По данным таблиц смертности:

Ожидаемая (актуарная) стоимость единичной суммы при страховании на дожитие определяется по формуле

Ответ: ожидаемая (актуарная) стоимость единичной суммы при страховании на дожитие составила 0,7618 руб.

Преобразуем единовременную ставку для чистого дожития, умножив числитель и знаменатель дроби на v*

(8.62)

Тогда единовременная ставка но договору страхования на дожитие с использованием коммутационной функции (8.2) примет вид:

(8.63)

ПРИМЕР 8.3

Определите величину взноса родителей при рождении ребенка (мальчика) по договору страхования на дожитие. По достижении 18 лет юноше предполагается выплата сумма в 10 000 руб. Годовая норма доходности – 5%. Для расчетов необходимо использовать данные таблиц коммутационных функций г. Москвы (приложение 12).

Решение

По данным таблиц коммутационных функций определим значения:

Нетто-ставка при страховании на дожитие определяется по формуле (8.63):

Тогда сумма взноса равна:

Ответ: для приобретения контракта по страхованию на дожитие родителям необходимо осуществить взнос, равный 4099 руб. (без учета надбавки страховой компании).

В случае оплаты страхования па дожитие ежегодно величина ставкибудет равна

(8.64)

или с использованием коммутационных функций (8.2) и (8.3):

(8.65)

ПРИМЕР 8.4

По данным примера 8.3. определите величину годовых взносов родителей.

Решение

Для определения годового взноса воспользуемся формулой (8.65) и данными таблицы коммутационных функций (приложение 12):

Ответ: годовой взнос со страховой суммы в 10 000 руб. составит 337 руб.

Если страховые взносы уплачиваются в течение п лет по т раз в год в начале т-το периода, то их последовательность образует срочный ограниченный страховой аннуитет пренумерандо, и величина одного взноса составит

(8.66)

или

(8.67)

Ранее указывалось, что страхование на дожитие редко используется изолированно, чаще является составной частью других контрактов. Этот вид страхования делает страховой полис относительно дорогим, если срок страхования не очень большой.

Прирост средств по данному виду страхования осуществляется за счет двух факторов: процентной ставки и смертности части застрахованных. Последний фактор приводит к перераспределению доли взносов умерших между дожившими в момент окончания срока действия контракта, создавая для них, тем самым, дополнительную прибыль, помимо той, что обеспечивается процентами.

Пожизненное страхование

Рассмотрим пожизненное страхование с выплатой страховой суммы в конце последнего года жизни. В договоре пожизненного страхования нетто-ставка обозначается Ах. Современная стоимость единичной страховой суммы в момент заключения договора с человеком в возрасте х лег обозначается Zx и равна:

(8.68)

Актуарная современная стоимость единичной страховой суммы в момент заключения договора с человеком в возрасте х лет равна:

(8.69)

Если 1Х лиц возраста .г заключили договор на пожизненное страхование и Ах – стоимость страхового полиса, то собранные средства страховой компании составят Ах ■ /,.. Эта сумма должна обеспечить выплаты всех страховых сумм. Ежегодные выплаты компании составят dx в первый год, dx+i во второй год и т.д. Текущие стоимости этих сумм будут соответственно равны

Если приравнять текущую стоимость выплат по всем полисам и средства, полученные компанией в виде взносов, то получим следующее уравнение баланса:

В расчете на один договор страхования себестоимость страхового полиса составит

(8.70)

или

(8.71)

или с использованием коммутационных фукнций (8.2), (8.4) и (8.5)

(8.72)

ПРИМЕР 8.5

Найдите стоимость единовременной премии по пожизненному страхованию на сумму 10 000 руб. для 18-летнего застрахованного молодого человека. Для расчета надо использовать данные приложения 12.

Решение

Для решения необходимо воспользоваться формулой (8.72):

Ответ: стоимость единовременной премии по пожизненному страхованию составит 1166 руб.

На практике очень мало полисов страхования жизни оплачивается единовременным взносом, чаще – регулярными платежами, например ежегодными (Рг). Можно вычислить величину этих выплат, составив уравнение баланса. Текущая стоимость последовательных поступлений в виде уплаченных взносов составит срочный пожизненный аннуитет пренумерандо:

или

Уравнение примет вид откуда

(8.73)

Или с учетом (8.72) и формулы немедленного пожизненного аннуитета пренумерандо (см. главу 9):

выражение для Рх примет вид

(8.74)

ПРИМЕР 8.6

По данным примера 8.5. определите ежегодную премию.

Решение

Для решения необходимо воспользоваться формулой (8.74):

Ответ: ежегодная премия по пожизненному страхованию составит 63 руб.

Если страховые взносы уплачиваются пожизненно т раз в год в начале т-го периода, то их последовательность образует срочный пожизненный страховой аннуитет пренумерандо, для которого приближенная формула будет иметь вид

(8.75)

Можно пользоваться точной формулой:

(8.76)

где (8.77)

(8.78)

Следовательно, величина рисковой ставки, выплачиваемая т раз в году, составит:

(8.79)

или, с учетом (8.72) и (8.75), примет вид:

(8.80)

Формула (8.80), позволяет рассчитывать уплату премии т раз в году и в случае наступления страхового случая произвести выплаты в конце года смерти.

Пожизненное страхование жизни с ограниченным сроком уплаты взносов

Условия этого договора предполагают выплату страховой компанией определенной страховой суммы бенефициарию после смерти застрахованного, когда бы она ни наступила. А страхователь, со своей стороны, обязуется платить взносы в начале каждого периода (года, месяца) до наступления определенного, оговоренного в договоре, срока (например, достижение пенсионного возраста). Этот вид страхования очень удобен для страхователя, так как в современных условиях в России человек может платить страховые взносы в основном до выхода на пенсию.

В пожизненном страховании на случай смерти актуарий ориентируется на ожидаемую продолжительность предстоящей жизни. Следовательно, возникает риск, вызванный тем, что клиент умрет слишком рано, не успев осуществить все взносы, а страховщику придется выполнить свои обязательства в полном объеме. Поэтому договор с ограниченным сроком уплаты взносов выгоден для страховщика, так как страховщик может перенести уплату основной части взносов на начальный период действия договора и тем самым снизить величину риска недополучения всех взносов до наступления смерти клиента. Это позволит снизить взнос.

Полисы по контрактам с ограниченным сроком уплаты взносов обычно содержат указание возраста застрахованного, по достижении которого контракт должен быть полностью оплачен, например, до достижения пенсионного возраста, т.е. до 60 лет (для мужчин РФ) или до 55 лет (для женщин РФ).

Для такого вида договора нетто-ставка рассчитывается следующим образом.

Пусть для возраста х величина ежегодной ставки, уплачиваемой в начале страхового года, обозначается tPx. Ежегодные платежи в течение оговоренного срока t составляют срочную ренту. Тогда общие премиальные выплаты составят, в среднем,

Поскольку актуарная стоимость контракта пожизненного страхования Ах, то в соответствии с принципом эквивалентности обязательств страховщика и страхователя можно получить следующее балансовое уравнение:

Отсюда ежегодная нетто-ставка:

(8.81)

Используя коммутационные функции, можно привести эту формулу к виду:

(8.82)

так как

(8.83)

ПРИМЕР 8.7

Определите размер ежегодной премии по пожизненному страхованию жизни на сумму 10 000 руб., если возраст застрахованного мужчины – 30 лет, период уплаты взносов – 15 лет. Для расчетов используйте данные таблиц коммутационных функций по г. Москве (приложение 12).

Решение

Воспользуемся формулой (8.82):

Ответ•, премия составит 169 руб. в год.

Если оплата производится t лет по т раз в году в начале каждого /и-го периода, то один взнос составит:

(8.84)

или

Пожизненное страхование с выплатой страховой суммы в конце последнего года жизни, отсроченное на k лет.

Современная стоимость единичной страховой суммы в момент заключения договора с человеком в возрасте х лет обозначаетсяс вероятностью 1 и равна:

(8.86)

Можно связать современные ценности страховых возмещений для пожизненного дискретного страхования, отсроченного на /е лет, пожизненного дискретного страхования и ^-летнего временного дискретного страхования:

(8.87)

Актуарная современная стоимость единичной страховой суммы верна и для средних значений:

(8.88)

Через коммутационные функции запишем:

(8.89)

где d – эффективная учетная ставка:

Страхование жизни на срок

Рассмотрим и-летнее временное страхование жизни с выплатой страховой суммы в конце года смерти. В актуарной математике единовременная нетто-ставка для договора, действующего ограниченный период времени п лег, обозначается Л[-5|, где х – возраст застрахованного.

Формирование тарифной ставки договора страхования жизни на срок п лет происходит следующим образом.

Если 1Х лиц возраста х заключили договор на страхование жизни на срок п лет, то страховая компания выплатит:

• – в первый год: сумму v •
• – во второй год: ;
• – в третий год: ;
• – в п-й год: ,

где V – дисконтный множитель; i – процентная ставка.

Следовательно, текущая стоимость страховых выплат по всем договорам составит

Суммарные собранные средства страховой компании составят

где– единовременная ставка для договора этого вида. Уравнение баланса примет вид

или

Если использовать коммутационные формулы, то получим

или

Числитель этого выражения можно упростить, записав его как разность коммутационных чисели:

Таким образом, единовременная нетто-ставка по страхованию па случай смерти лица в возрасте х лет на срок п лет будет рассчитываться по формуле

(8.90)

Современная стоимость единичной страховой суммы в момент заключения договора с человеком в возрасте х лет обозначаетсяи равна

(8.91)

Актуарная современная стоимость единичной страховой суммы в момент заключения договора с человеком в возрасте х лет равна:

(8.92)

Если взносы уплачиваются страхователем ежегодно в начале каждого года, то последовательность их выплат образует срочный ограниченный страховой аннуитет пренумерандо'.

или через коммутационные числа:

(8.93)

Тогда поток платежей представляет собой

где– величина ежегодной ставки.

Таким образом, выполнено равенство

откуда

(8.94)

Окончательно получаем формулу для вычисления ежегодной иетто-ставки по договору страхования жизни па срок п лет:

(8.95)

Основываясь на полученных формулах, рассчитаем нетто-ставку в случае уплаты взносов т раз в год для срока страхования на п лет.

ПРИМЕР 8.8

Найдите единовременную и годовую премию 5-летнего полиса страхования жизни на сумму 10 000 руб. для 30-летнего мужчины. Для расчетов используйте данные таблиц коммутационных функций (приложение 12).

Решение

Для определения единовременной премии необходимо воспользоваться формулой (8.90):

Для определения годовой премии необходимо воспользоваться формулой (8.95):

Ответ•, единовременная премия по договору составит 207 руб., размер ежегодной премии – 46 руб.

ПРИМЕР 8.9

Найдите единовременную и годовую премии по договору страхования жизни сроком на 1 год на сумму 10 000 руб. для 30-летнего мужчины. Для расчетов используйте данные таблиц коммутационных функций (приложение 12).

Решение

Для такого частного случая, когда договор страхования жизни заключается сроком на один год, разницы в ежегодной и единовременной нетто-ставках нет:

Действительно,

Тогда получаем, что взнос по договору страхования жизни сроком на один год равен:

Ответ: единовременная и годовая премии равны и составили 48 руб.

Вычисление нетто-ставки, уплачиваемой т раз в год,

на примере договора страхования жизни на срок и лет

На практике гораздо чаще годовых или единовременных взносов используются страховые взносы, уплачиваемые в течении п лет по т раз в году в начале каждого /я-го периода, например, поквартально (т = 4) или ежемесячно (т = 12). Этот случай требует отдельного рассмотрения, так как необходимо учесть, что дисконтный множитель, используемый в расчетах, уже не годовой, а за т-й период года. Также актуарный коэффициент дисконтирования, основывающийся на таблицах смертности с шагом 1 год, должен быть пересчитан па случай дробных возрастов.

Задача интерполяции таблиц смертности для дробных возрастов может быть решена, основываясь на одной из гипотез (подробнее эта задача рассмотрена в параграфе 7.3):

• • равномерное распределение смертей внутри года (линейность s(x))'}
• • условие постоянства силы смертности (экспоненциальный вид ,ν(.τ));
• • условие Балдуччи (линейность распределения функции 1 /s(x)).

Из перечисленных гипотез ограничимся гипотезой линейности .у (.г).

Если время жизни Тх – любое, необязательно целое число k <Т(Х) <k+, то его можно представить в виде суммы:

(8.96)

где – целая часть возраста;– дробная часть возраста; 0 < t < 1.

Тогда, согласно гипотезе:

и как следствие 1Х считается линейной на (k, k + ), т.е.:

Можно заметить, что условие линейности влечет равенство

(8.98)

т.е. все количество смертей равномерно распределено между возрастами и и (и + 1).

Величина нетто-ставки по договору страхования жизни на срок п лет, выплачиваемая т раз в году, составит:

(8.99)

С использованием коммутационных функции формула выглядит гак:

(8.100)

или

(8.101)

Смешанное страхование жизни

Это страхование представляет собой комбинацию срочного страхования жизни и страхования на дожитие с тем же сроком. Страховая сумма выплачивается:

• – бенефициарию, если застрахованный возраста х не доживет до возраста (х + и) лет;
• – застрахованному, если он дожил до возраста (х + п) лет.

Уплата страховых взносов может производиться единовременно, ежегодно или ежемесячно. В зависимости от условий контракта выплата страховой суммы в случае смерти застрахованного производится сразу после смерти, в конце года смерти и т.д.

Современная стоимость единичной страховой суммы в момент заключения договора с человеком в возрасте х лет обозначаетсяи равна:

(8.102)

Можно связать современные стоимости страховых возмещений и-летнего чисто накопительного страхования, "-летнего дискретного временного страхования и "-летнего дискретного смешанного страхования:

(8.103)

Ранее мы отмечали, что момент смерти заранее не известен, поэтому может возникнуть ситуация, когда уплаченные взносы не уравновесят выплаты при смерти застрахованного. Это необходимо учитывать при построении тарифной ставки.

Актуарная стоимость контракта по страхованию жизни на " лет (в случае смерти страховые выплаты производятся в конце года смерти) и стоимость контракта на дожитие с этим же сроком на одну условную единицу страховой суммы известны. Если выплачиваемая сумма одинакова при смерти и при дожитии, то остается их сложить, и единовременная нетто-ставка для смешанного договора страхования жизни примет вид:

(8.104)

Следует обратить особое внимание на место индекса "1" в обозначениях в формуле (8.104) для единовременной петто-премии в случае накопительного страхования (на дожитие) и страхования жизни (на случай смерти). Этот индекс появляется в связи с гем, что для этих видов страхования мы имеем дело с двумя событиями:

• – смертью застрахованного в момент Тх (это событие обозначается индексом х);
• – окончанием срока действия договора в момент п (это событие обозначается индексом ").

Индекс "1", расположенный справа вверху, указывает на то, какое событие наступит первым. Если первым истекает срок действия контракта (так что застрахованный еще жив), то мы имеем дело с договором страхования на дожитие (чисто накопительным страхованием). Если первой наступает смерть (так, что срок действия договора еще не истек), то мы имеем дело со страхованием на случай смерти. Это правило в полной мере относится и к обозначениям для актуарных приведенных стоимостей обязательств страховщика и ежегодных нетто-премий по соответствующим договорам страхования.

Через характеристики остаточного времени жизни выражение (8.104) примет вид:

(8.105)

Если использовать коммутационные формулы, то получим:

(8.106)

где d – эффективная учетная ставка:

ПРИМЕР 8.10

Найдите единовременную премию смешанного страхования со страховой суммой в 10 000 руб. для 30-летнего мужчины. Срок страхования – 20 лет. Годовая процентная ставка – 5%. Для расчетов используйте данные таблиц коммутационных функций (приложение 12).

Решение

Для решения воспользуемся формулой (8.106):

Ответ: единовременная премия составит 4007 руб.

В случае оплаты смешанного страхования ежегодными нетто-ставками в начале года величина нетто-ставки будет следующей:

(8.107)

или

(8.108)

Если оплата производится п лет по т раз в году в начале каждого m-го периода, то один взнос составит:

или

(8.109)

Заметим, что в смешанном страховании не всегда страховые суммы на случай смерти и дожития одинаковы. Если суммы различаются, то вводятся весовые коэффициенты.

Смешанное страхование на срок с отсрочкой ответственности на случай смерти

Договор смешанного страхования с отсрочкой ответственности на случай смерти является модификацией договора смешанного страхования жизни. Выплата страховой суммы производится по окончании срока договора (через п лет), если застрахованный дожил до конца этого срока, или в момент смерти застрахованного, если она произошла спустя, как минимум, k лет от начала договора и не позднее конца срока договора. Единовременная нетто-ставка но этому виду страхования вычисляется следующим образом:

где

В верности последнего равенства можно убедиться, учитывая, что

(8.110)

Следовательно, учитывая условия рассматриваемого договора:

Тогда

(8.112)

Величина ежегодной ставки составит

(8.113)

так как клиент страховой компании платит взносы за весь срок договора с начала и до конца, причем его взносы составляют срочную ренту

С учетом формулы (8.112) выражение (8.113) примет вид:

(8.114)

Если взносы уплачиваются т раз в году в начале каждого ш-го периода, то один взнос составит:

(8.115)

гдевычисляется либо по приближенной формуле:

(8.116)

или по точной формуле:

(8.117)

где (8.118)

(8.119)

Если сделать преобразование с помощью коммутационных функций, то выражение примет вид:

Рассмотренный договор позволяет предлагать страховщикам услуги по более низким тарифам в том случае, если отсрочка ответственности достаточно велика.