Расчет премий для договоров страхования жизни с выплатами в момент смерти (непрерывных)
Непрерывными считаются договора, согласно которым страховое пособие обычно выплачивается в виде одиночной суммы в момент смерти застрахованного.
Разовая нетто-нремия для любого договора страхования равна:
(8.121)
где– величина страхового возмещения, приведенная на момент заключения договора застрахованного в возрасте х лет:
(8.122)
Далее рассмотрим конкретные договоры страхования и уточним формулы для каждого из них.
Накопительное страхование жизни на срок n лет (на дожитие)
Современная стоимость единичной страховой суммы в момент заключения договора с человеком в возрасте х лет обозначаетсяи равна:
(8.123)
Актуарная современная стоимость (нетто-ставка) единичной страховой суммы в момент заключения договора с человеком в возрасте х лет обозначаетсяи равна:
(8.124)
Пожизненное страхование
Современная стоимость единичной страховой суммы в момент заключения договора с человеком в возрасте х лет обозначаетсяи равна:
Актуарная современная стоимость (нетто-ставка) единичной страховой суммы в момент заключения договора с человеком в возрасте х лет обозначаетсяи равна:
(8.126)
можно выразить через характеристики времен жизни:
(8.127)
можно выразить через коммутационные функции:
(8.128)
ПРИМЕР 8.11
Мужчина в возрасте 45 лет заключил пожизненный договор страхования с условием ежегодной уплаты страховых взносов пока он жив. Страховая сумма равна 10 000 руб. Годовая норма доходности – 5%. Определите величину годовых взносов.
Решение
Для вычислений воспользуемся формулой (8.128). Аналогично формуле (8.73) для рассрочки взносов в дискретных договорах можно записать:
При этом необходимо также использовать взаимосвязи между дискретными и непрерывными величинами – формулы (8.154). Интенсивность процентов (δ) определяем по формуле (8.42). Тогда
11о таблице коммутационных функций П9 приложений определим значения и подставим в полученную формулу:
Ответ: годовой взнос со страховой суммы 10 000 руб. составит 198 руб.
Пожизненное страхование, отсроченное на k лет
Современная стоимость единичной страховой суммы в момент заключения договора с человеком в возрасте х лет обозначаетсяи равна:
(8.129)
Актуарная современная стоимость (нетто-ставка) единичной страховой суммы в момент заключения договора с человеком в возрасте х лет обозначаетсяи равна:
(8.130)
Через коммутационные функции:
(8.131)
Взаимосвязь между современной стоимостью страховых возмещений для пожизненного страхования, отсроченного на k лет, ^-летнего страхования и пожизненного страхования можно выразить следующей формулой:
(8.132)
И для средних значений:
(8.133)
ПРИМЕР 8.12
Для условий примера 8.11 срок уплаты страховой премии ограничен возрастом 65 лет. Определите величину годового страхового взноса.
Решение
Аналогично формуле (8.73) для рассрочки взносов в дискретных договорах можно записать:
Ответ: годовой взнос со страховой суммы 10 000 руб. составит 246 руб.
Страхование жизни на срок п лет (на случай смерти)
Современная стоимость единичной страховой суммы в момент заключения договора с человеком в возрасте х лет обозначаетсяи равна:
(8.134)
Актуарная современная стоимость (нетто-ставка) единичной страховой суммы в момент заключения договора с человеком в возрасте х лет обозначается и равна:
(8.135)
Через характеристики времен жизни получаем:
(8.136)
Страхование жизни на срок п лет, отсроченное на k лет (на случай смерти)
Размер единичного страхового возмещения, приведенный на момент заключения договора с человеком в возрасте атлет, обозначается или
и равна:
Соответствующее среднее значение можно выразить через характеристики остаточного времени жизни:
(8.138)
и через коммутационные функции:
(8.139)
Взаимосвязь между современной стоимостью страховых выплат для пожизненного страхования, отсроченного на k лет, ^-летнего страхования и (k + л)-летпего страхования можно выразить следующей формулой:
(8.140)
И для средних значений:
(8.141)
Смешанное страхование жизни на срок
Современная стоимость единичной страховой суммы в момент заключения договора с человеком в возрасте х лет обозначаетсяи равна:
(8.142)
Соответствующее среднее значение можно выразить через характеристики остаточного времени жизни:
(8.143)
Через коммутационные функции:
(8.144)
Связь между современной стоимостью страховых выплат для я-лстного страхования, и-летного смешанного страхования и д-летного накопительного страхования:
Аналогичная связь для средних значений:
(8.146)
Случай выплаты страхового обеспечения сразу после смерти в договорах по страхованию жизни и смешанном страховании
Как правило, договор страхования предусматривает выплату страховой суммы сразу после установления факта смерти. Поэтому при вычислении текущей стоимости страховой выплаты следует осуществлять дисконтирование от момента смерти, а не от конца года, что реализуется заменой: V k+1 –> V*+1, где τ – интервал времени от начала (к +1 )-го года страхования до момента смерти (в долях года). Но нам заранее не известно количество смертей в определенном временном интервале внутри года, известно только общее количество смертей лиц данного возраста за год. Поэтому (как указано ранее) необходимо принять какую-либо гипотезу о распределении смертей внутри года. Воспользуемся предположением о равномерном распределении смертей внутри года.
Если разбить (k+ 1)-ый год на г равных интервалов времени длительностью 1 /г, количество смертей за любой интервал времени составит dx + k/r. Будем считать, что все выплаты по страховым случаям, происшедшим в соответствующем временном интервале, осуществляются в конце этого интервала, т.е. совокупность страховых выплат представляет собой r-срочную ренту постнумерандо.
В результате текущая стоимость страховых выплат за год равна:
Таким образом, ожидаемая текущая стоимость страховых выплат, осуществляемых сразу после смерти, для пожизненного страхования равна:
(8.147)
Страхователь в возрасте 45 лет приобрел договор пожизненного страхования, по которому в случае его смерти наследники должны получить 10 000 руб. Определите стоимость контракта при годовой процентной ставке 5%. Для расчетов используйте данные таблиц коммутационных функций (приложение 12).
Решение
Для определения стоимости контракта воспользуемся формулой (8.147).
По таблице коммутационных функций г. Москвы определим необходимые значения:
Тогда
Сумма взноса равна:
Ответ•, стоимость контракта составит 2959 руб.
Аналогично для стоимости срочного контракта по страхованию жизни сроком на п лет, с выплатой страхового обеспечения сразу после смерти получим:
(8.148)
Как отмечено ранее, при небольших значениях годовой процентной ставки можно заменить множитель:
(8.149)
Соответственно, можно рассматривать случаи, когда выплаты страхового обеспечения производятся в конце месяца, в котором произошла смерть застрахованного.
Например, ожидаемая текущая стоимость страховых выплат, осуществляемых в конце месяца (г= 12), в котором произошла смерть застрахованного, для пожизненного страхования равна:
Аналогично вычисляется стоимость срочного контракта по страхованию жизни сроком на п лет, с выплатой страхового обеспечения, осуществляемой в конце месяца (г= 12), в котором произошла смерть застрахованного:
(8.151)
Связь между непрерывными и дискретными договорами страхования жизни
С дискретными видами страхования связаны различные пожизненные ренты. Для того чтобы исследовать связь между непрерывными и дискретными видами страхования, допустим, что момент смерти внутри последнего года жизни имеет равномерное распределение для дробных возрастов. При этом предположении случайные величины: Кх. – округленное остаточное время жизни,– дробная часть
Тх, Тх – продолжительность жизни независимы и величина τχравномерно распределена на промежутке [0,1).
Тогда и величина (1 – τχ) равномерно распределена на промежутке [0,1). Следовательно,
(8.152)
Учитывая, что
(8.153)
можем записать:
(8.154)
или выразить следующим образом:
(8.155)
(8.157)
Сходство этих формул не случайно и объясняется следующим. Предположим, что величина Ь, сохраняет постоянные значения на промежутках , т.е.
для п< t<(n + 1), а момент смерти равномерно распределен внутри последнего года жизни. Тогда разовая негто-премия А по любому договору страхования с выплатой страховой суммы в момент смерти связана с разовой нетто-премией А по аналогичному виду страхования, но с выплатой страховой суммы в конце года смерти, следующей формулой:
(8.158)
Возможно представить доказательство:
(8.159)
Полученные формулы для расчетов тарифных ставок удобно представить в табличной форме (табл. 8.2-8.4).
Формулы построения тарифных ставок в основных договорах страхования жизни
Таблица 8.2
Страхование на случай смерти
Страховые выплаты |
С ограниченным сроком уплаты взносов t |
|||||
Срок |
Взносы |
в конце года смерти |
в конце 1 /г периода года смерти |
сразу после смерти |
||
с а 1 1 5 й * S. С - |
CQ – О s Ξ С ω |
|
|
|
|
|
Пожизненное страхование |
Ежегодно |
|
|
|
|
|
т раз в год |
|
|
|
|
|
|
Срочное (на срок п лет) страхование |
Единовремен но |
|
|
|
|
|
Ежегодно |
|
|
|
|
|
|
т раз в год |
|
|
|
|
|
Таблица 8.3
Срочное (на срок и лет) страхование на дожитие (выплаты сразу)
Взносы: единовременно |
Взносы: ежегодно |
Взносы: т раз в год |
|
|
|
Таблица 8.4
Смешанное страхование жизни
Взносы |
Страховые выплаты |
Срочное (на срок п лет) смешанное страхование жизни с отсрочкой ответственности на k лет |
|
в конце года смерти |
сразу после смерти |
||
Едино временно |
|
|
|
Ежегодно |
|
|
|
т раз в год |
|
|
|