Расчет премий для договоров страхования жизни с выплатами в момент смерти (непрерывных)

Непрерывными считаются договора, согласно которым страховое пособие обычно выплачивается в виде одиночной суммы в момент смерти застрахованного.

Разовая нетто-нремия для любого договора страхования равна:

(8.121)

где– величина страхового возмещения, приведенная на момент заключения договора застрахованного в возрасте х лет:

(8.122)

Далее рассмотрим конкретные договоры страхования и уточним формулы для каждого из них.

Накопительное страхование жизни на срок n лет (на дожитие)

Современная стоимость единичной страховой суммы в момент заключения договора с человеком в возрасте х лет обозначаетсяи равна:

(8.123)

Актуарная современная стоимость (нетто-ставка) единичной страховой суммы в момент заключения договора с человеком в возрасте х лет обозначаетсяи равна:

(8.124)

Пожизненное страхование

Современная стоимость единичной страховой суммы в момент заключения договора с человеком в возрасте х лет обозначаетсяи равна:

Актуарная современная стоимость (нетто-ставка) единичной страховой суммы в момент заключения договора с человеком в возрасте х лет обозначаетсяи равна:

(8.126)

можно выразить через характеристики времен жизни:

(8.127)

можно выразить через коммутационные функции:

(8.128)

ПРИМЕР 8.11

Мужчина в возрасте 45 лет заключил пожизненный договор страхования с условием ежегодной уплаты страховых взносов пока он жив. Страховая сумма равна 10 000 руб. Годовая норма доходности – 5%. Определите величину годовых взносов.

Решение

Для вычислений воспользуемся формулой (8.128). Аналогично формуле (8.73) для рассрочки взносов в дискретных договорах можно записать:

При этом необходимо также использовать взаимосвязи между дискретными и непрерывными величинами – формулы (8.154). Интенсивность процентов (δ) определяем по формуле (8.42). Тогда

11о таблице коммутационных функций П9 приложений определим значения и подставим в полученную формулу:

Ответ: годовой взнос со страховой суммы 10 000 руб. составит 198 руб.

Пожизненное страхование, отсроченное на k лет

Современная стоимость единичной страховой суммы в момент заключения договора с человеком в возрасте х лет обозначаетсяи равна:

(8.129)

Актуарная современная стоимость (нетто-ставка) единичной страховой суммы в момент заключения договора с человеком в возрасте х лет обозначаетсяи равна:

(8.130)

Через коммутационные функции:

(8.131)

Взаимосвязь между современной стоимостью страховых возмещений для пожизненного страхования, отсроченного на k лет, ^-летнего страхования и пожизненного страхования можно выразить следующей формулой:

(8.132)

И для средних значений:

(8.133)

ПРИМЕР 8.12

Для условий примера 8.11 срок уплаты страховой премии ограничен возрастом 65 лет. Определите величину годового страхового взноса.

Решение

Аналогично формуле (8.73) для рассрочки взносов в дискретных договорах можно записать:

Ответ: годовой взнос со страховой суммы 10 000 руб. составит 246 руб.

Страхование жизни на срок п лет (на случай смерти)

Современная стоимость единичной страховой суммы в момент заключения договора с человеком в возрасте х лет обозначаетсяи равна:

(8.134)

Актуарная современная стоимость (нетто-ставка) единичной страховой суммы в момент заключения договора с человеком в возрасте х лет обозначается и равна:

(8.135)

Через характеристики времен жизни получаем:

(8.136)

Страхование жизни на срок п лет, отсроченное на k лет (на случай смерти)

Размер единичного страхового возмещения, приведенный на момент заключения договора с человеком в возрасте атлет, обозначается или и равна:

Соответствующее среднее значение можно выразить через характеристики остаточного времени жизни:

(8.138)

и через коммутационные функции:

(8.139)

Взаимосвязь между современной стоимостью страховых выплат для пожизненного страхования, отсроченного на k лет, ^-летнего страхования и (k + л)-летпего страхования можно выразить следующей формулой:

(8.140)

И для средних значений:

(8.141)

Смешанное страхование жизни на срок

Современная стоимость единичной страховой суммы в момент заключения договора с человеком в возрасте х лет обозначаетсяи равна:

(8.142)

Соответствующее среднее значение можно выразить через характеристики остаточного времени жизни:

(8.143)

Через коммутационные функции:

(8.144)

Связь между современной стоимостью страховых выплат для я-лстного страхования, и-летного смешанного страхования и д-летного накопительного страхования:

Аналогичная связь для средних значений:

(8.146)

Случай выплаты страхового обеспечения сразу после смерти в договорах по страхованию жизни и смешанном страховании

Как правило, договор страхования предусматривает выплату страховой суммы сразу после установления факта смерти. Поэтому при вычислении текущей стоимости страховой выплаты следует осуществлять дисконтирование от момента смерти, а не от конца года, что реализуется заменой: V k+1 –> V*+1, где τ – интервал времени от начала (к +1 )-го года страхования до момента смерти (в долях года). Но нам заранее не известно количество смертей в определенном временном интервале внутри года, известно только общее количество смертей лиц данного возраста за год. Поэтому (как указано ранее) необходимо принять какую-либо гипотезу о распределении смертей внутри года. Воспользуемся предположением о равномерном распределении смертей внутри года.

Если разбить (k+ 1)-ый год на г равных интервалов времени длительностью 1 /г, количество смертей за любой интервал времени составит dx + k/r. Будем считать, что все выплаты по страховым случаям, происшедшим в соответствующем временном интервале, осуществляются в конце этого интервала, т.е. совокупность страховых выплат представляет собой r-срочную ренту постнумерандо.

В результате текущая стоимость страховых выплат за год равна:

Таким образом, ожидаемая текущая стоимость страховых выплат, осуществляемых сразу после смерти, для пожизненного страхования равна:

(8.147)

Страхователь в возрасте 45 лет приобрел договор пожизненного страхования, по которому в случае его смерти наследники должны получить 10 000 руб. Определите стоимость контракта при годовой процентной ставке 5%. Для расчетов используйте данные таблиц коммутационных функций (приложение 12).

Решение

Для определения стоимости контракта воспользуемся формулой (8.147).

По таблице коммутационных функций г. Москвы определим необходимые значения:

Тогда

Сумма взноса равна:

Ответ•, стоимость контракта составит 2959 руб.

Аналогично для стоимости срочного контракта по страхованию жизни сроком на п лет, с выплатой страхового обеспечения сразу после смерти получим:

(8.148)

Как отмечено ранее, при небольших значениях годовой процентной ставки можно заменить множитель:

(8.149)

Соответственно, можно рассматривать случаи, когда выплаты страхового обеспечения производятся в конце месяца, в котором произошла смерть застрахованного.

Например, ожидаемая текущая стоимость страховых выплат, осуществляемых в конце месяца (г= 12), в котором произошла смерть застрахованного, для пожизненного страхования равна:

Аналогично вычисляется стоимость срочного контракта по страхованию жизни сроком на п лет, с выплатой страхового обеспечения, осуществляемой в конце месяца (г= 12), в котором произошла смерть застрахованного:

(8.151)

Связь между непрерывными и дискретными договорами страхования жизни

С дискретными видами страхования связаны различные пожизненные ренты. Для того чтобы исследовать связь между непрерывными и дискретными видами страхования, допустим, что момент смерти внутри последнего года жизни имеет равномерное распределение для дробных возрастов. При этом предположении случайные величины: Кх. – округленное остаточное время жизни,– дробная часть

Тх, Тх – продолжительность жизни независимы и величина τχравномерно распределена на промежутке [0,1).

Тогда и величина (1 – τχ) равномерно распределена на промежутке [0,1). Следовательно,

(8.152)

Учитывая, что

(8.153)

можем записать:

(8.154)

или выразить следующим образом:

(8.155)

(8.157)

Сходство этих формул не случайно и объясняется следующим. Предположим, что величина Ь, сохраняет постоянные значения на промежутках , т.е. для п< t<(n + 1), а момент смерти равномерно распределен внутри последнего года жизни. Тогда разовая негто-премия А по любому договору страхования с выплатой страховой суммы в момент смерти связана с разовой нетто-премией А по аналогичному виду страхования, но с выплатой страховой суммы в конце года смерти, следующей формулой:

(8.158)

Возможно представить доказательство:

(8.159)

Полученные формулы для расчетов тарифных ставок удобно представить в табличной форме (табл. 8.2-8.4).

Формулы построения тарифных ставок в основных договорах страхования жизни

Таблица 8.2

Страхование на случай смерти

Таблица 8.3

Срочное (на срок и лет) страхование на дожитие (выплаты сразу)

Таблица 8.4

Смешанное страхование жизни