Учет факторов риска при оптимальном планировании добычи минерально- сырьевых ресурсов

В обобщенном виде можно считать, что прибыль от добытой тонны полезных ископаемых (например, угля) – величина случайная. Необходимо максимизировать вероятность того, что прибыль шахт будет больше или равна заданной величины 'J?. При этом возникает необходимость разработки стохастической модели планирования добычи полезных ископаемых. В такой постановке можно записать задачу:

при ограничениях на производственные возможности

где а у – удельные затраты i-ro ресурса (i = 1, 2, ..., т) Haj-й шахте; х; – объем добычи угля Haj-й шахте (j - 1,2,..., п); Ь, – фонд i-го ресурса.

Данную задачу в вероятностной постановке можно свести к детерминированному эквиваленту. Пусть прибыль от добычи 1 т угля на j-й шахте – случайная величина, нормально распределенная с математическим ожиданием μ,• и дисперсией а у́ Rj е Ν(μ,•, σ,). Математическое ожидание и дисперсию можно определить статистическим путем. Если известны N значений прибыли pkj (к = 1, 2,..., АО от добычи 1 т угля на каждой;-й шахте, то для расчета математического ожидания используется формула

Дисперсия определяется как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Например, если по двум шахтам известны данные о колебаниях прибыли (табл. 9.15), то отсюда легко отыскиваются параметры, характеризующие прибыль от добычи угля на каждой шахте: щ = 16,0; μ2 = 17,322; Oj = 0,665; σ2 = 0,414.

Таблица 9.15. Колебания прибыли от добычи 1 т угля на шахтах (данные условные)

Шахта

Наблюдения значений прибыли от добычи 1 т угля на шахтах

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

14,8

16,1

17,0

16,8

15,1

16,9

15,4

15,6

16,3

2

17,8

16,3

17,4

17,9

18,1

16,5

17,2

17,8

16,9

В данных условиях вероятностная модель может быть приведена к детерминированному эквиваленту с помощью следующих преобразований:

В силу принятых допущений и

Следовательно, максимизацию вероятности можно заменить на минимизацию выражения. Получена детерминированная задача нелинейного программирования:

Для рассматриваемого примера имеем

Для решения данной задачи воспользуемся методом условного градиента (прил. 4). Заметим, что точка х = (0,0; 0,0)Т должна быть исключена из рассмотрения, так как знаменатель целевой функции в этой точке обращается в ноль. За исходную точку можно, в частности, принять любую точку в окрестности точки начала координат, например х = (1,0; 1,0)Т. Определим аналитическое выражение компонент вектор-градиента целевой функции:

Рассчитаем вектор-градиент в точке:

Так как решается задача минимизации, то следует проводить поиск оптимума в направлении антиградиента. В этом случае приходим к задаче линейного программирования:

Численный вид задачи для рассматриваемого примера:

Решением данной задачи является точка Направление одномерного поиска

В результате одномерного поиска определяется лучшая точка . Определим в точке вектор-градиент целевой функции исходной задачи:. Отсюда составляем новую задачу линейного программирования:

Решением новой задачи является точка. Далее рассчитывается вектор, по которому будет проводиться одномерный поиск:

Лучшей точкой в направлении у2 является точка х2 = х2 Градиент целевой функции в точке х2 = х2 составит V/O2) = ( ОД 699; 0Д839)Т.

В результате решения задачи будет получено решение, совпадающее с предыдущим. Следовательно, оптимальное решение поставленной задачи

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >