Проецирование отрезка прямой линии

Проецирование отрезка и деление его в данном отношении

Наглядное изображение отрезка АВ прямой и его ортогонального проецирования на плоскость л показано на рис. 2.1. Рассмотрим ортогональное проецирование отрезка АВс учетом свойств параллельного проецирования (§ 1.2). Параллельные проецирующие прямые АА °и ВВ °, проведенные из точек Ли В прямой, образуют проецирующую плоскость р, пересекающуюся с плоскостью проекций л. Линия пересечения плоскостей лир проходит через проекции А ° и В “ точек А и В на плоскости проекций л. Эта линия и является единственной проекцией прямой на плоскости проекций л.

Между длинами отрезка А В прямой и его проекции А °В ° имеется зависимость | А °В01 = | А В | cos у, где у – угол между отрезком и плоскостью проекций. При у = 0 отрезок проецируется в натуральную величину (| А °В012 | АВ |); при у = 90° отрезок проецируется в точку. В остальных случаях длина проекции отрезка меньше длины самого отрезка.

Наглядное изображение проецирования отрезка АВ прямой на две плоскости проекций в системе л2, п, показано на рис. 2.2, чертеж – на рис. 2.3.

Рис. 2.1

Рис. 2.2

Рис. 2.3

Рис. 2.4

Отметим, что если какая-либо точка принадлежит прямой, то ее проекция принадлежит проекции прямой. Например, точка D (см. рис. 2.1) принадлежит прямой ΑΒ, ее проекция D ° – проекции А °Β На рис. 2.3 точка с проекциями D" и D' принадлежит прямой с проекциями А"В", А'В'.

Если точка на отрезке делит его длину вданном отношении, то проекция точки делит длину одноименной проекции отрезка в том же отношении (см. рис. 1.8). Например, на рис. 2.1 отношение! /Ш|/| DB = = A°D°/ D°B°. Для рис. 2.3 – отношения Α "D" | ∕ | D" В" | и IA 'D' I ∕ I D 'В' I равны отношению | AD | ∕ | DB |.

Пример построения на чертеже проекций К " и К' точки К, делящей отрезок с проекциями А "В ", А' В' в отношении 1:3, показан на рис. 2.4.

Положение прямой линии относительно плоскостей проекций и особый случай положения прямой

Относительно плоскостей проекций прямая может занимать различные положения:

не параллельное ни одной из плоскостей проекций π2, π,, π3;

параллельное одной из плоскостей проекций (прямая может и принадлежать этой плоскости);

параллельные двум плоскостям проекций, τ. е. перпендикулярное третьей.

Прямую, не параллельную ни одной из плоскостей проекций, называют прямой общего положения (см. рис. 2.3, 2.4). Прямую, параллельную одной из плоскостей проекций или двум плоскостям проекций, т. е. перпендикулярную третьей, называют прямой частного положения.

На рис. 2.5 приведены наглядные изображения и чертежи отрезков прямых частного положения:

Рис. 2.5

  • а) прямая ΑΒ параллельна плоскости π! (ее называют горизонтальной прямой); фронтальная проекция А "В " параллельна оси χ; длина горизонтальной проекции отрезка равна длине самого отрезка ; угол β, образованный горизонтальной проекцией и осью проекций, равен углу наклона прямой к фронтальной плоскости проекций;
  • б) прямая CD параллельна плоскости π2 (ее называют фронтальной прямой); горизонтальная проекция C'D' параллельна оси χ, длина фронтальной проекции отрезка равна длине самого отрезка ; угол α, образованный фронтальной проекцией и осью проекций, равен углу наклона прямой к горизонтальной плоскости проекций;
  • в) прямая EF параллельна плоскости π3 (ее называют профильной прямой); длина профильной проекции отрезка равна длине самого отрезка , углы β и α, образованные профильной проекцией с осями zwy, равны углам наклона прямой к фронтальной и горизонтальной плоскостям проекций соответственно;
  • г) прямая перпендикулярна плоскости π1; ее проекция А "В" перпендикулярна оси χ, проекции А' и В' совпадают;
  • д) прямая перпендикулярна плоскости π2, ее проекция E'F' перпендикулярна оси χ, проекции Ε" и F" совпадают;
  • е) прямая перпендикулярна плоскости π3, ее проекции E"D", E'D' параллельны оси χ, проекции Ε"' и D"' совпадают.

Как уже указывалось, если точка принадлежит прямой, то ее проекции принадлежат одноименным проекциям этой прямой (см. рис. 2.3, 2.4). Обратное положение – если две проекции точки принадлежат одноименным с ними проекциям прямой в системе π2, ль то точка принадлежит прямой,– справедливо для проекций всех прямых, кроме профильной. Для профильных прямых обратное положение справедливо только в системе трех плоскостей проекций.

Это положение наглядно иллюстрируется на рис. 2.6:

и соответственно

Рис. 2.6

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >