Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Инженерная графика

Построение точек пересечения прямой с поверхностью многогранника

Построение точек пересечения прямой с поверхностью многогранника сводится к построению линии пересечения многогранника проецирующей плоскостью, в которую заключают данную прямую. На рис. 6.11 приведено построение проекций Е", Е' и F", F' точек пересечения прямой с проекциями М "N ", М 'N' с боковыми гранями пирамиды. Пирамида задана проекциями G ", G' вершины и А "В "С", А'В'С основания. Прямая MN заключена во вспомогательную фронтально проецирующую плоскость у(у"). Горизонтальные проекции Е' и F' искомых точек построены в пересечении проекции M'N' с горизонтальными проекциями 1' 3' и 2'3' отрезков, по которым плоскость у пересекает боковые грани пирамиды. Фронтальные проекции Е" и F" определены по линиям связи.

Взаимное пересечение многогранников

Изображение пересекающихся между собой в пространстве призмы А и пирамиды Б представлено на рис. 6.12. Линия их пересечения проходит через точки 1,3,4, 6 пересечения ребер пирамиды с гранями призмы и точки 2, 5 пересечения ребра призмы с гранями пирамиды. В общем случае в пересечении многогранников получается пространственная замкнутая ломаная линия, которая в некоторых частных случаях может оказаться плоской.

При построении линии пересечения многогранников применяют два способа и их комбинации:

1. Строят точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого и ребер второго с гранями первого. Через построенные точки в определенной последовательности проводят ломаную линию пересечения данных многогранников. При этом отрезки прямых проводят лишь через те построенные точки, которые лежат в одной и той же грани.

Рис. 6.11

Рис. 6.12

2. Строят отрезки прямых, по которым грани одной поверхности пересекают грани другой. Эти отрезки являются звеньями ломаной линии пересечения многогранных поверхностей между собой.

Таким образом, построение линии пересечения двух многогранников сводится или к построению линии пересечения двух плоскостей между собой, или к построению точки пересечения прямой с плоскостью. Обе эти задачи рассмотрены выше. На практике обычно используют оба способа в комбинации исходя из условия простоты и удобства построения.

В качестве примера рассмотрим построение линии пересечения усеченной правильной четырехугольной пирамиды и наклонно расположенной трехгранной призмы (рис. 6.13, а). Прежде чем приступить к построениям, анализируют взаимное положение многогранников и их расположение относительно плоскостей проекций. В данном случае очевидно, что многогранники могут пересекаться только по боковым граням. Ребра призмы и боковые ребра пирамиды параллельны плоскости π2, основания пирамиды параллельны плоскости π,. Нижняя грань призмы и ее основания перпендикулярны плоскости π2.

Указанные особенности расположения призмы и пирамиды определяют и наиболее рациональный способ построения линии пере-

Рис. 6.13

сечения их поверхностей потомкам пересечения ребер призмы с гранями пирамиды и боковых ребер пирамиды с гранями призмы.

Построения показаны на рис. 6.13, б. Рассмотрим их для левой части чертежа (от оси пирамиды). Проекции 1", 1', 2", 2', 3", 3 ', 4", 4' точек пересечения ребер призмы с гранями пирамиды найдены путем проведения через них фронтальных плоскостей р(р'), а(а'), у(у '). Они пересекают левые боковые грани пирамиды по фронталям – прямым линиям, параллельным левому ребру пирамиды. Положение их фронтальных проекций определено по горизонтальным проекциям 2/', 22' и 24' точек пересечения горизонтальных проекций Р', а' и у' плоскостей р, а, у с горизонтальной проекцией основания пирамиды. В пересечении фронтальных проекций этих линий с фронтальными проекциями ребер призмы найдены фронтальные проекции 1", 2" и 4 "точек пересечения ребер призмы с левыми гранями пирамиды. По ним построены горизонтальные проекции / 2', 4'.

Проекции 3", 3' точки пересечения ребра AD пирамиды с верхней задней гранью призмы найдены с помощью вспомогательной фронтальной плоскости ц(г|'), которая проведена через это ребро. Плоскость ц пересекает грань призмы по прямой, параллельной ребрам призмы и проходящей через точку 23 на основании призмы. В пересечении фронтальных проекций этой прямой и ребра A" D " найдена фронтальная проекция 3" точки пересечения указанного ребра с задней верхней гранью призмы и на линии связи – горизонтальная проекция 3'. С нижней гранью призмы, перпендикулярной плоскости п2, ребро AD пересекается в точке с фронтальной проекцией 5 ". В проекционной связи на проекции А ' D ' построена ее горизонтальная проекция 5'.

Таким образом, проекции точек пересечения всех ребер призмы с левыми гранями пирамиды – 1", 12 ", 2', 4 ", 4' и ребра/lZ)пирамиды с двумя гранями призмы – 3 ", 3' и 5 ", 5' построены. Соединяем проекции точек, принадлежащих одной грани, и получаем проекции 1"2"3"4"5" 1", Г2' 3'4'5'1' ломаной линии пересечения.

Построение в правой части чертежа проекций 6"7"8"9" 10"6", 6'7'8'9'10'6' линии пересечения аналогично. Порядок построения иллюстрируется стрелками.

После построения проекций линий пересечения многогранников обводят проекции оставшихся частей ребер многогранников.

Заметим, что переднее и заднее ребра пирамиды не пересекают поверхность призмы.

Развертка гранных поверхностей

Разверткой поверхности многогранника называют плоскую фигуру, полученную при совмещении с плоскостью всех его граней. Развертывание гранных поверхностей выполняют для проведения раскроя листового материала при изготовлении деталей или определения площади поверхности деталей, покрываемых различными материалами. Определение площади важно при различных покрытиях, выполняемых как с декоративными целями, так и с целью придания поверхности определенных свойств, например повышенной электропроводности, а также при различных химических методах обработки поверхностей.

Рис. 6.14

Для построения развертки гранной поверхности необходимо определить размеры ее граней. Заметим, что построение любой грани многогранника может быть выполнено путем разбивки ее на треугольники. Длина сторон треугольника в свою очередь может быть определена любым из известных методов.

Развертка поверхности пирамиды. Построение развертки боковой поверхности пирамиды можно проводить в такой последовательности:

Рис. 6.15

  • 1) определить длину ребер и сторон основания пирамиды;
  • 2) выполнить чертеж развертки последовательным построением треугольников – граней пирамиды.

Пример построения развертки поверхности треугольной пирамиды GABC приведен на рис. 6.14. Для удобства построения боковые ребра пирамиды продолжены до пересечения с плоскостью л,. Это позволило определить на горизонтальной проекции длину отрезков / '22'3', 3'1' нового основания пирамиды. Длина боковых ребер G– 1, G– 2, G–3 найдена вращением их вокруг вертикальной оси – отрезки G"l", G"2 ", G"3". На них найдены отрезки G"А ", G"В", G"С". По найденным отрезкам построена развертка боковой поверхности G0 /020J0 h и затем GaA0BaC0. На отрезке А0С0 построена натуральная величина треугольника АВ()С0 по сторонам А„Ви и СиВа, найденным способом прямоугольного треугольника (см. рис. 2.8).

Построение развертки призматической поверхности можно производить несколькими способами – нормального сечения, треугольников.

При способе нормального сечения построение развертки призматической поверхности целесообразно выполнять в следующем порядке (рис. 6.15):

  • – пересечь призматическую поверхность вспомогательной плоскостью, перпендикулярной ее ребрам a _L 1–2 (ABCD – нормальное сечение);
  • – развернуть построенную ломаную линию (Д0B,,C0D0) пересечения вспомогательной плоскости с призматической поверхностью, определив длину ее отрезков (АДь BUC0, C0D0);
  • – на перпендикулярах к развернутой линии пересечения (A0D0) отложить длину отрезков ребер призматической поверхности (Aa I0, AaZi, В030, ДЛ, C0J0,С06о, D070, D080) и соединить их концы отрезками прямых.

По способу треугольников развертка призматической поверхности заключается в следующем: четырехугольники (грани) разбивают диагоналями на треугольники; определяют длины сторон треугольников; выполняют чертеж развертки последовательным построением треугольников, на которые разбиты грани.

 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы