Моделирование случайных векторов.

При решении задач исследования характеристик процессов функционирования систем методом статистического моделирования на ЭВМ возникает необходимость в формировании реализаций случайных векторов, обладающих заданными вероятностными характеристиками. Случайный вектор можно задать проекциями на оси координат, причем эти проекции являются случайными величинами, описываемыми совместным законом распределения. В простейшем случае, когда рассматриваемый случайный вектор расположен на плоскости хОу, он может быть задан совместным законом распределения его проекций £ и rj на оси Ох и Оу [4].

Рассмотрим дискретный случайный процесс, когда двухмерная случайная величина (£, tj) является дискретной и ее составляющая {принимает возможные значения х19 х2, —" *л, а составляющая rj — значения уlty2*•••&*, причем каждой паре (xh yj} соответствует вероятность />,у. Тогда каждому возможному

Схема алгоритма генерации последовательности случайных чисел, имеющих пуассоновское распределение значению х, случайной величины £ будет соответствовать

Рис. 4.15. Схема алгоритма генерации последовательности случайных чисел, имеющих пуассоновское распределение значению х, случайной величины £ будет соответствовать

Тогда в соответствии с этим распределением вероятностей можно определить конкретное значение х1 случайной величины £ (по правилам, рассмотренным ранее) и из всех значений д выбрать последовательность

которая описывает условное распределение величины г при условии, что £=х,. Затем по тем же правилам определяем конкретное значение д случайной величины у в соответствии с распределением вероятностей (4.24). Полученная пара (д, д) будет первой реализацией моделируемого случайного вектора. Далее аналогичным образом определяем возможные значения х,2, выбираем последовательность

и находим д в соответствии с распределением (4.25). Это дает реализацию вектора (д, д) и т. д.

Рассмотрим моделирование непрерывного случайного вектора с составляющими £ и т/. В этом случае двухмерная случайная величина (£, г}) описывается совместной функцией плотности /(х, у). Эта функция может быть использована для определения функции плотности случайной величины £ как

Имея функцию плотности/*(х), можно найти случайное число х„ а затем при условии, что £=хь определить условное распределение случайной величины ту.

В соответствии с этой функцией плотности можно определить случайное число у(. Тогда пара чисел (х„ у,) будет являться искомой реализацией вектора (£, ц).

Рассмотренный способ формирования реализаций двухмерных векторов можно обобщить и на случай многомерных случайных векторов. Однако при больших размерностях этих векторов объем вычислений существенно увеличивается, что создает препятствия к использованию этого способа в практике моделирования систем.

В пространстве с числом измерений более двух практически доступным оказывается формирование случайных векторов, заданных в рамках корреляционной теории. Рассмотрим случайный вектор с математическими ожиданиями а а2, ••., ая и корреляционной матрицей

где

Пример 4.14. Для определенности остановимся на трехмерном случае л*3. Пусть требуется сформировать реализации трехмерного случайного аеггора ({, г, ф), имеющего нормальное распределение с математическими ожиданиями М[£**аи М[щ=аг и корреляционной матрицей К, элементы которой к к12 в кзъ являются дисперсиями случайных величин у и ф соответственно, а элементы Ьцтк2, к**к32 представляют собой корреляционные моменты £ и г,

£вфу1]вф соответственно.

Пусть имеется последовательность не корреляционных случайных чисел {у*}, имеющих одномерное нормальное распределение с параметрами а и а. Выберем три чиста у3, у2, у3 и преобразуем их так, чтобы они имели характеристики а2, а2, а3 и К. Искомые составляющие случайного вектора (£, л. Ф) обозначим как х, у, г в представим в виде линейного преобразования случайных величин у/.

где С/у — некоторые коэффициенты (пока не известные). Для вычисления этих коэффициентов воспользуемся элементами корреляционной матрицы К. Так как случайные величины V,, у2, у3 независимы между собой, то М[(*1~а) (г^~а)]—0 при №].

В итоге имеем:

Решая эту систему уравнения относительно су, получим:

Вычислив коэффициенты су, легко три последовательных случайных числа V*, /—1, 2, 3, преобразовать в составляющие случайного вектора (*/, г(), используя соотношения, приведенные выше [4].

При таком формировании реализаций случайного вектора требуется хранить в памяти ЭВМ п(п + 1)/2 корреляционных моментов кц и п математических ожиданий а,. При больших п в связи с этим могут встречаться затруднения при использовании полученных та-

ким способом многомерных случайных векторов для моделирования систем.

Конкретные алгоритмы имитации стохастических воздействий в процессе машинного эксперимента рассмотрим далее применительно к случаям использования для формализации процесса функционирования системы 5 типовых математических схем (см. гл. 8).

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >