МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СИСТЕМ НА БАЗЕ А-СХЕМ

Особенности использования при моделировании систем обобщенного агрегативного подхода, реализуемого с помощью А-схем, и основные понятия агрегативных систем были даны в § 2.7. Остановимся на возможностях использования А-схем для формализации процессов функционирования различных систем [4, 36, 37].

Формализация на базе А-схем.

Рассмотрим частный случай А-схем в виде кусочно-линейных агрегатов (КЛА), позволяющих описать достаточно широкий класс процессов и дающих возможность построения на их основе не только имитационных, но и аналитических моделей. В отличие от общей постановки (см. § 2.7) полагаем, что на вход агрегата А не поступают управляющие сигналы м(/), т. е. агрегат рассматривается как объект, который в каждый момент времени характеризуется внутренними состояниями z(t)eZ; в изолированные моменты времени на вход агрегата А могут поступать входные сигналы х(/)еЛ', а с его выхода могут сниматься выходные

сигналы y(t)e Y. Класс КЛА выделяется с помощью конкретизации структуры множеств Z, X, Y, т. е. пространств состояний, входных и выходных сигналов соответственно, а также операторов переходов V, U, W и выходов G.

Пусть имеется некоторое конечное или счетное множество /=* {О, 1, 2, которое назовем множеством основных состояний, а элементы этого множества ve/— основными состояниями. Каждому основному состоянию ve / поставим в соответствие некоторое целое неотрицательное число Qv|, называемое рангом основного состояния. Кроме того, каждому состоянию ve/ поставим в соответствие выпуклый многогранник в евклидовом пространстве размерности |v|. Будем считать, что Z'*{JZ<vi, т. е. пространство состояний Z можно представить состоящим из всевозможных пар вида (v, Z(,)), где ve/, a Z(,) является вектором

размерности ||v|, принимающим значения из многогранника Zw. Вектор Z(r) будем называть вектором дополнительных координат. Если |v| —0, то в данном основном состоянии v дополнительные координаты не определяются.

Например, если хотим описать процесс функционирования прибора обслуживания как КЛА, то основное состояние будет соответствовать числу заявок в приборе (П) [в накопителе (Н) и канале (К)], а вектор дополнительных координат будет содержать информацию о длительности пребывания заявки, ее приоритетности и др., т. е. ту информацию, значение которой необходимо для описания процесса z(f).

Определим действие оператора U, описывающего поведение КЛА при отсутствии входных сигналов х (/). Пусть в начальный момент времени агрегат Л находится в состоянии z(/0)=(v, г^'СО)), где г(г,(0)— внутренняя точка многогранника Zw. Тогда при t>t0 точка *zw(i) перемещается внутри многогранника Zw до тех пор, пока ве достигнет его границ. Момент времени I, когда это произойдет, называется "опорным". Тогда приосновное состояние агрегата

и данному состоянию V соответствует вектор дополнительных координат а14 размерности 1уЦ, причем

Пусть 25*1 — у-я грань многогранника Z('*, содержащего т (у) граней, которые могут быть заданы линейными уравнениями вида

где z4) — компоненты вектора

Тогда можно показать, что значение опорного момента /, определяется траекторией г (0 и может быть найдено из соотношения

Обозначим

Пусть

Тогда

В момент времени 11 состояние КЛА изменяется скачкообразно и значение г (/, +0) является случайным и задается распределением Ри которое зависит лишь от состояния 2 (гх). Широкий класс систем описывается КЛА, у которых Ру зависит не от всего вектора г (г,), а лишь от значения основного состояния V и номерау'-Й грани Zjv на которую вышел вектор дополнительных координат г

В момент времени /, может выдаваться выходной сигнал у, что описывается оператором О (см. § 2.7). При этом для КЛА

и множество У имеет структуру, аналогичную г, т. е. выходные сигналы у* (Я, у (')), где А — элемент некоторого конечного или счетного множества; у ^ — вектор, принимающий значения то евклидова пространства размерности, зависящей от А.

При />1, функционирование КЛА вновь описывается формулами (8.4) и (8.5) до очередного особого момента времени (2, где Д/ = /2 —Г, ит.д.

Для КЛА множество значений входных сигналов X структурно аналогично множествам У и т. е. входные сигналы к—{ц, х0**)" где ц — элементы некоторого конечного или счетного множества; хм — действительный вектор, размерность которого зависит от ц.

Если в рассматриваемый момент времени / состояние КЛА г(/)*(у, г19>) и поступает входной сигнал х=(у, Xм), то при этом состояние агрегата меняется скачкообразно г(/+0) в соответствии с действием оператора У (см. § 2.7). Состояние г(*+0) является случайным и задается распределением Р2, которое зависит от г(0 и х. В рассматриваемый момент времени выдается выходной сигнал, необходимость выдачи и содержание которого зависят от состояния г (/) и содержания поступившего входного сигнала х. Далее КЛА снова функционирует в соответствии с (8.4) и (8.5) до следующего момента времени выхода вектора состояний на границу допустимых значений или до момента времени наступления входного сигнала.

Простой вид формул для вычисления "опорных" моментов (8.6)... (8.8) является следствием кусочно-линейного закона изменения состояний 2(0 и обеспечивает простоту машинной реализации модели в виде отдельного КЛА или А-схемы, составленной из нескольких КЛА.

Рассмотрим особенности формализации процессов функционирования системы Sy представленных в виде частных типовых математических схем (О- и Р-схем), в виде КЛА. При этом надо иметь в виду, что представление процессов функционирования реальных систем в виде КЛА является неоднозначным, так как неоднозначно могут быть выбраны состояния агрегатов [4].

Пример 8.14. Рассмотрим особенности КЛА О-схемы, представляющей собой обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида

где х(/) - известная функция времени.

Представим это уравнение в конечно-разностном виде, выбрав какой-нибудь метод численного интегрирования уравнения (например, метод ломаных Эйлера), а шаг интегрирования А возьмем из условий близости решения исходного уравнения и его кусочно-линейной аппроксимации. В результате кривая £(г), изображающая решение этого уравнения, заменяется ломаной 2(1), звенья которой в точках г*~/0+АЛ, кш 0, а, имеют тангенс угла наклона, равный /[/*, !(/*), х (/*)].

Представим систему описываемую этим дифференциальным уравнением, в виде КЛА. В качестве состояния агрегата выберем пару (у, г(п), где у — основное состояние, которое соответствует номеру интервала времени длины А вида (Г0+уА, *0+(у+1)Лк Iм — вектор дополнительных координат, который сформируем следующим образом. В качестве координаты гх (() возьмем ломаную конечно-разностного уравнения, а в качестве координаты х2 (0 — время, оставшееся до окончания текущего интервала. Тогда состояние такого КЛА определяется как к (г)-[у,

г, (/), г2(0), где координаты я, (|) и г2 (/) вектора *м(|) изменяются линейно в пределах интервалов, причем координата яа(|) убывает с единичной скоростью

и обращается в нуль в момент времени /, — /<, + уА, у*= 1, л. В эти моменты времени состояние совершает детерминированный скачок г (гу ч- 0) — (у -Ь1, х, (г*), А].

После скачка при /у </</,.+1 координаты описываются соотношениями

где x(f") — входной сигнал, поступающий в моменты времени /y=/0 + vA.

Таким образом, в этом случае при построении КЛА считается, что /={0, 1, ... .. *), |v| тХ : 2у>2], m(v)-l, Z^-Ji^ :

Выходными сигналами у (г) могут быть любые функции от состояния.

Пример 8.15. Рассмотрим особенности представления в виде КЛА Р-схемы, представляющей собой конечный асинхронный вероятностный автомат Мура, который не имеет жесткой тактности, а изменяет свое состояние только при поступлении входного сигнала. Пусть Хл и Уа — конечные входной и выходной алфавиты автомата, a Z, — конечное множество его внутренних состояний. Полагаем для определенности, что Уа"{1, 2,..., К}, Уа-{1, 2, ..., М}, Za = { 1, 2,..., функционирование такой Р-схемы описывается следующим образом: если в момент времени t автомат находился в состоянии яа (/)< и поступил входной сигнал хя (/) - к, то состояние автомата яа(/ + 0) выбирается случайно с вероятностью

Выдаваемый при этом выходной сигнал уаеУа является однозначной функцией нового состояния, в которое перешел автомат, т. е. уа *•т=Ф (/), где Ф — некоторая детерминированная функция с множеством значений Уа и областью определения Za.

Для представления такой Р-схемы в виде КЛА в качестве множества входных сигналов агрегата X выберем множество Хя, а в качестве множества выходных сигналов У — множество Уа. В качестве основных состояний КЛА / выберем множество и будем полагать, что ЦуЦ"0 для всех уе/, т. е. вектор дополнительных

координат я**' не определяется. При таком задании КЛА многогранники 2м не определяются, т. е. отпадают вопросы, связанные с движением внутри многогранников, выходом на границу и распределением Рх.

Таким образом, функционирование такого КЛА сводится к скачкам состояния при поступлении входных сигналов, причем из-за отсутствия вектора дополнительных координат такие скачки сводятся лишь к скачкам основного состояния у, что требует только задания распределения Р2, которое совпадает с распределением Рк). Содержание выходного сигнала, выдаваемого в момент поступления входного сигнала КЛА, определяется только функцией Ф.

Если предположить, что |у|| =0, ЦАЦ — 0, |дЦ=0 для всех у, Я, д, то КЛА превращается в Р-схему обшего вида.

Способы построения моделирующих алгоритмов А-схем. Основные преимущества агрегативного подхода состоят в том, что в руки разработчиков моделей и пользователей дается одна и та же формальная схема, т. е. А-схема. Это позволяет использовать результаты математических исследований процессов, описывающих функционирование агрегативных систем, при создании моделирующих алгоритмов и их программной реализации на ЭВМ. В настоящее время имеются разработки математического обеспечения, в основу которого положен агрегативный подход. Но при этом у пользователя всегда должна оставаться свобода в переходе от концептуальной к формальной модели. Таким образом, имеется возможность многовариантного представления процесса функционирования некоторой системы 5 в виде модели М, построенной на основе А-схем.

Пример 8.16. Рассмотрим технологию перехода от содержательного описания к А-схеме на примере (}-схемы, структура которой приведена на рис. 8.6. Такой переход возможен, так как А-схема отражает наиболее общий подход к формализации процесса функционирования системы 5. Для представления этой системы в виде Л-схемы будем использовать пять типов агрегатов, а именно: Ак — внешняя среда; Ан — накопитель; Ах — канал; Аг — распределитель; Ас — сумматор. Функции агрегатов Ам и Л* соответствуют функциям таких элементов (£-схемы, как накопитель (Н) и канал (К). Агрегат Ая позволяет формализовать взаимодействие между агрегатами Л-схемы и внешней средой Е. Использование вспомогательных агрегатов Аг я Ас вызвано необходимостью синхронизации работы агрегатов в составе А-схемы в соответствии с принятыми дисциплинами постановки в очередь и обслуживания заявок. Кроме того, через агрегат Ас возможна передача сигналов от различных выходных контактов одних агрегатов на один и тот же входной контакт другого агрегата, что запрещено делать непосредственно (см. § 2.7).

При таких предположениях структура А-схемы будет иметь вид, приведенный на рис. 8.29. Опишем работу каждого типа агрегатов, показанных на рис. 8.30, в отдельности.

Агрегат "Внешняя среда" Ак (ряс. 8.30, а) имеет два входных контакта и один выходной: на вход ЛГ,^ поступают обслуженные заявки (сигнал -1); на вход Х2т — заявки, получившие отказ в обслуживании (сигнал х2(Е,~1); с выхода У,® снимают заявки через промежутки времени, распределенные по заданному закону распределения входящего потока заявок. Вектор состояний агрегата Л* :**(/)—1.

Агрегат "Канал" Ак (рве. 8.30, б) имеет три входных контакта и один выходной: на вход Х^) подают сигнал поступления заявки на обслуживание; на вход — сигнал разрешения выдачи обслуженной заявки; на вход — сигнал блокировки

Пример А-схемы общего вида

Рис. 8.29. Пример А-схемы общего вида

Рис. 8.30.

Агрегаты выдачи обслуженной каналом заявки; с выхода снимают сигнал выдачи обслуженной каналом заявки. Вектор состояний агрегата

где 2? (Г) — время, оставшееся до окончания обслуживания заявки, которая находится в канале;

В том случае, если время обслуживания заявки в канале истекло, т. е. (()<(), но ее выдача из канала запрещена, т. е. 2^(0 “0, заявка остается в канале до тех пор, пока не придет сигнал г* (/)"1.

Агрегат "Накопитель" Ан (рис. 8.30, в) имеет три входа и три выхода, входные контакты Х^ ДГ^Н) соответствуют по своим функциям контактам ХР, Х^) агрегата Ак; с выхода У?0 выдается заявка, стоящая в очереди в накопителе первой; с выхода У?4 выдаются заявки, потерянные из-за переполнения накопителя; с выхода Уф1* поступает сигнал о том, что накопитель полностью заполнен. Внутреннее состояние агрегата Аи описывается вектором

где (г) — число заявок в накопителе;

Агрегат "Распределитель" Аг (рис. 8.30, г) служит для разделения поступающего на вход Хф потока заявок по двум направлениям выходам и У?, что соответствует принятой дисциплине обслуживания, т. е. алгоритму взаимодействия накопителя н канала. В рассматриваемом примере поступившая в Аг-заявка передается через выход У^ ести соответствующий ему агрегат Ак свободен для принятия на обслуживание этой заявки; в противном случае заявка выдается через выход Уф. Информация о занятости соответствующих агрегатов А1, на которые поступают заявки с выходов УР, У? передается на входные контакты Х1Р~Х%). Если оба агрегата Ах не могут принять заявки от агрегата Аг, то на выходной контакт У1р выдается сигнал, запрещающий передачу заявки Ар. Как только один из агрегатов Ак освободится (о чем выдается соответствующий сигнал Аг на входы ХТХТ, сигнал с контакта У?5 разрешает посылающему агрегату Ан пересылку заявки через Аг в Ак, т. е. заявка в А* не хранится. Внутреннее состояние агрегата определяется вектором

где

Агрегат "Сумматор" Ас (рис. 8.34, д) выполняет функции, обратные агрегату Аг, т. е. избирательно суммирует поступающие заявки от двух посылающих агрегатов Ах и передает их на вход принимающего агрегата н и Ак). При поступлении на вход Хп или Хр сигнала разрешения передачи заявки от принимающего агрегата сумматор Ас должен последовательно опросить принимающие агрегаты. Для этого сначала передается сигнал разрешения на первый из посылающих агрегатов (контакт У|Р). От этого посылающего агрегата либо поступает сигнал на входной контакт Х*р, либо он отсутствует. В первом случае поступившая заявка передается дальше (контакт УТ*)> в противном случае посылается сигнал разрешения (контакт У^р) на второй из посылающих агрегатов. Внутреннее состояние агрегата Ас определяется вектором

где

Таким образом, используя набор аргегатов АЕ, А, Ан, Ар и А, можно описать процесс функционирования рассматриваемой системы (см. рис. 8.6). Для возможности формализации более сложных систем требуется в пределах данного класса объектов (Q-cxeм) увеличение числа состояний перечисленных агрегатов, а для других классов систем — расширение набора агрегатов.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >