Случай классического потока платежей

В классическом потоке платежей проекта в течение нескольких первых периодов его существования в развитие этого проекта вкладываются средства. За счет этих средств создается инвестиционный объект проекта, например космический ретранслятор. После ввода в строй инвестиционного объекта проекта его начинают эксплуатировать, что приносит инвестору доход. Схема такого потока платежей представлена на рис. 6.6.

Схема классического потока платежей проекта

Рис. 6.6. Схема классического потока платежей проекта

В рассматриваемом случае в проект вкладываются средства в течениелет. .Эти средства используются для ввода в строй объекта проекта. После завершения этого процесса проект начинает приносить доход в течениегода. Поэтому общий срок существования проекта равен сумме этих периодов, т.е.лет. Заметим, что расходы и доходы проекта осуществляются в течение всего года, а не в конце этого года, как указано на схеме рис. 6.6. Тем не менее все внутригодовые выплаты приводятся к концу года по ставке наращения, равной стоимости капитала проекта. Обычно инвестициям, или расходам,присваивается знак минус. Всем доходам, следующим за инвестициями, присваивается знак плюс. В тех случаях, когда в некоторых периодах инвестиционного проекта имеют место как инвестиции, так и доходы, эти величины складывают с учетом знаков. Если в результате получают отрицательное число, то это является расходом. На нашей схеме его обозначают знаком -К. Если эго число положительное, то имеет место доход. Его обозначают знаком Е.

Чистым дисконтированным (приведенным) доходом называют разность суммы доходов и суммы расходов, дисконтированных на начало проекта. Формула для расчета чистого дисконтированного дохода имеет вид

(6.4)

где знакомобозначены как доходы, так и инвестиции, причем при подстановке в эту формулу инвестиционным расходам присваивается знак "минус", а доходам – знак "плюс"; – номер периода;– продолжительность проекта; q – ставка дисконтирования. Заметим, что формула (6.4) справедлива для потока платежей с выплатами в конце года. Такие потоки платежей называют потоками постнумерандо.

Обычно считают, что если чистый дисконтированный доход больше или равен нулю, то проект принимается для дальнейшего рассмотрения. В противном случае, т.е. при чистом дисконтированном доходе меньше нуля, проект отвергается как убыточный.

Пример 7. Проводится анализ двух проектов на предмет выявления лучшего из них со следующими характеристиками:

проект 1: -2 -4 6 2,016

проект 2: -1 -5 6 2,016.

Платежи выплачиваются в конце гола, ставка дисконтирования принимается равной 20% годовых. Выберите проект на основании чистого дисконтированного дохода.

Решение

Подставив исходные данные примера для первого проекта в формулу (6.4), получим значение чистого дисконтированного дохода для него:

Аналогично находим значение чистого дисконтированного дохода для второго проекта:

Сравнивая два полученных значения чистого дисконтированного дохода, видим, что этот показатель у второго проекта больше, т.е.. Таким образом, предпочтение отдают второму проекту.

Анализ формулы (6.4) для расчета чистого приведенного дохода показывает, что ставка дисконтирования входит в знаменатель дробей. При увеличении этой ставки увеличивается знаменатель и уменьшается дробь. Если ставка дисконтирования – величина большая, то отдаленные от начала проекта платежи мало сказываются на величине чистого дисконтированного дохода. Например, пусть ставка дисконтирования равна 20% годовых, а срок проекта более 50 лет. Тогда дисконтный множитель для года под номером 50 будет равен

Таким образом, из-за эффекта неравноценности денег во времени последние платежи по сравнению с первыми будут уменьшаться почти в десять тысяч раз. Отсюда следует, что различные по продолжительности проекты с одинаковыми инвестициями и слабо отличающимися годовыми доходами могут оказаться практически равноценными. Однако существует общепринятое утверждение о том, что проекты, которые приносят доход в течение более длительного периода, предпочтительнее. При этом надо учитывать, что прочие условия слабо отличаются друг от друга. Этот факт вызвал множество попыток изменить рассмотренные методики определения чистого дисконтированного дохода. Одна из новых методик, например, предусматривает дисконтирование только тех доходов, которые охватываются сроком окупаемости. Остальные доходы дисконтированию не подлежат. Для всех подобных методик не существует убедительного экономического обоснования. Поэтому целесообразнее использовать для расчета приведенные выше формулы и при анализе характеристик различных проектов учитывать приведенный недостаток чистого дисконтированного дохода и другие показатели проекта.

Индекс прибыльности – это отношение суммы дисконтированных доходов к сумме дисконтированных инвестиций. В общем случае расходы и доходы можно приводить на любую удобную дату проекта. Формула для расчета имеет вид

(6.5)

где – доходы в году под номером j; – инвестиции в году под номером j. Общий срок проекта равен п лет. Следует иметь в виду, что в формулу (6.5) вместо доходов надо подставлять ноль, если инвестиции в эти годы не равны нулю, и наоборот.

Пример 8. Проводится анализ двух проектов на предмет выявления лучшего из них со следующими характеристиками:

проект 1:

-2

-4

4

4

5

проект 2:

-3

4

4

5

6

Платежи выплачиваются в конце года, ставка дисконтирования принимается равной 20% годовых. Выберите проект на основании индекса прибыльности.

Решение

Для первого проекта найдем сумму дисконтированных расходов. Эта сумма равна

Сумма дисконтированных доходов вычисляется по формуле

Теперь определим индекс прибыльности, разделив второе полученное число на первое:

Аналогично определяют индекс прибыльности для второго проекта. Для этих целей находят сумму дисконтированных расходов

затем сумму дисконтированных доходов

и делят второе число на первое:

Сравнивая результаты, видим, что индекс прибыльности второго проекта больше, чем у первого, т.е.. Таким образом, предпочтение отдают второму проекту.

Так как проект считается приемлемым для дальнейшего рассмотрения при чистом приведенном доходе большем или равным нулю, то индекс прибыльности должен быть больше единицы или равен единице. При выполнении этих условий инвестор будет изучать проект дальше.

Индекс прибыльности существенно дополняет чистый дисконтированный доход при анализе качества проекта. Действительно, чистый дисконтированный доход показывает превышение суммы дисконтированных доходов над суммой дисконтированных инвестиций. Этот показатель является эффектом и оперирует с денежными суммами. Его смысл заключается в том, чтобы показать, насколько реальный доход превысит ожидаемый, заложенный в ставке дисконтирования. В свою очередь индекс прибыльности, или рентабельность, являющаяся относительной величиной, показывает, во сколько раз сумма дисконтированных доходов превышает сумму дисконтированных инвестиций. Поэтому при анализе качества проекта нужно учитывать и тот и другой показатель.

Внутренней нормой доходности называется расчетная ставка дисконтирования, при которой чистый дисконтированный доход равен нулю, т.е. сумма дисконтированных доходов равна сумме дисконтированных инвестиций.

Из определения внутренней нормы доходности следует уравнение для ее расчета. Чтобы получить это уравнение, надо выражение для чистого дисконтированного дохода приравнять к нулю. Если решить полученное уравнение относительно ставки дисконтирования, то получим внутреннюю норму доходности. Рассматриваемое уравнение имеет вид

(6.6)

где знакомобозначены как доходы, так и инвестиции, причем при подстановке в эту формулу инвестиционным расходам присваивается знак "минус", а доходам – знак "плюс"; – номер периода; – продолжительность проекта; Q – внутренняя норма доходности. В уравнение (6.6) входит одно неизвестное – Q.

Зависимость чистого приведенного дохода от ставки дисконтирования является убывающей функцией, так как ставка дисконтирования входит в знаменатель и слагаемые, отвечающие за доходы, имеют более высокий показатель степени, чем слагаемые, отвечающие за инвестиции. График этой зависимости аналогичен представленному выше на рис. 6.4, с тем отличием, что координату пересечения этого графика с осью абсцисс обозначим буквой Q, и она является внутренней нормой доходности для рассматриваемого сейчас случая.

Из графика следует, что при ставках дисконтирования менее внутренней нормы доходности чистый дисконтированный доход будет положительным, т.е. проект будет прибыльным. Если же ставка дисконтирования превышает внутреннюю норму доходности, то чистый дисконтированный доход будет отрицательным, а проект – убыточным.

Пример 9. Определите внутреннюю норму доходности проекта, платежи которого выплачиваются в конце года и распределены по годам следующим образом: -2; -4; 4; 4; 5.

Решение

Составим уравнение для решения задачи. Для условий примера оно имеет вид

Решив это уравнение в MS Excel, найдем внутреннюю норму доходности, равную 39,29% годовых.

Внутренняя норма доходности – это внутренняя характеристика проекта. Финансовый смысл этого показателя состоит в том, что он указывает на наибольшую стоимость капитала, при которой проект еще остается безубыточным. Чем больше рассматриваемый показатель, тем больше доход принесет проект, тем больше доходность инвестиций. Тем не менее внутреннюю норму доходности не следует рассматривать как доходность в узком понимании этого слова, например такого, которое используется при анализе кредита. Обычно доходностью кредита, которую называют также доходностью к погашению, является процентная ставка, по которой дисконтируются будущие поступления по кредиту. При этом сумма дисконтированных но этой ставке поступлений должна быть равна сумме кредита.

Внутренняя норма доходности хорошо описывает проекты с классической схемой платежей. В этом случае функция чистого дисконтированного дохода от ставки дисконтирования является убывающей, а график этой функции только один раз пересекает ось абсцисс. Для общего случая потока платежей, когда за доходами следуют новые инвестиции, а затем доходы и т.д., график функции чистого дисконтированного дохода от ставки дисконтирования может пересекать ось абсцисс в нескольких точках. В этих случаях рассматриваемый показатель применяться не может.

В качестве доходности проекта нужно использовать показатель, который определяется так же, как доходность к погашению кредита. Одним из условий к качеству этого показателя является возможность его использования не только для классического потока платежей, но и для любых типов потоков. Известно, что внутреннюю норму доходности можно использовать далеко не во всех случаях. Формула для расчета доходности проекта конструируется следующем образом. Все инвестиции дисконтируются на начало проекта. При этом в качестве ставки дисконтирования выбирается стоимость капитала этого проекта. В этом случае мы переходим к схеме одноразовой инвестиции. Эта одноразовая инвестиция вычисляется но формуле

(6.7)

где– инвестиционные расходы в году под номером j; q – ставка дисконтирования, приравненная к стоимости капитала; пл – срок последней инвестиции. Доходностью к погашению проекта называется ставка, при дисконтировании но которой сумма будущих доходов но проекту будет равна одноразовой инвестиции, являющейся суммой всех инвестиций, дисконтированных по стоимости капитала. Исходя из определения доходности инвестиций, уравнение для ее расчета можно записать в виде

(6.8)

где г – доходность к погашению проекта. Необходимо обращать внимание на тот факт, что в те годы, когда доходы отсутствуют, величинуследует принимать равной нулю.

Пример 10. Определите доходность к погашению проекта, у которого стоимость капитала равна 10% годовых, а платежи выплачиваются в конце года и распределены по годам следующим образом: -2; -4; 4; 4; 5.

Решение

Прежде всего найдем сумму дисконтированных по стоимости капитала к началу проекта инвестиций. Эта сумма равна

Запишем уравнение для доходности проекта, используя данные примера:

Решение уравнения равно r= 26,23% годовых.

Этот показатель определяет доходность проекта аналогично определению доходности к погашению кредита. Это позволяет сравнивать доходность проектов с доходностями других распространенных финансовых операций, а также более уверенно принимать решения об инвестициях. В отличие от внутренней нормы доходности доходность к погашению проекта может быть использована не только для классического потока платежей, но и для нерегулярных потоков, когда доходы сменяются инвестициями и т.д.

Модифицированная внутренняя норма доходности (MIRR) также позволяет использовать ее для описания любого типа потоков платежей. Это норма, определяемая как годовая процентная ставка наращения по формуле (2.15) параграфа 2.6. При этом значение величины Р определяется как сумма дисконтированных по стоимости капитала инвестиций, S находят как сумму наращенных на момент окончания проекта притоков денежных средств на предприятие, на котором реализуется проект, п – момент окончания проекта, или его срок жизни.

Пример 11. Определите модифицированную внутреннюю норму доходности проекта, у которого стоимость капитала равна 12% годовых, доходность капитала предприятия – 18%, а платежи выплачиваются в конце года и распределены по годам следующим образом: -2; -4; 4; 4; 5.

Решение

Сумма дисконтированных по стоимости капитала инвестиций равна

Сумма наращенных на момент окончания проекта но стоимости капитала доходов

Модифицированная внутренняя норма доходности равна

, -млн 25,2% годовых.

Таким образом, модифицированная внутренняя норма доходности равна 25,2% годовых.

Периодом окупаемости называется временной интервал, в течение которого сумма чистых доходов, дисконтированных на момент завершения инвестиций, равна сумме инвестиций, приведенных к тому же моменту времени.

При определении периода окупаемости используется следующий алгоритм. Прежде всего находят сумму инвестиций, приведенных к моменту их завершения. При этом используется формула

(6.9)

где– инвестиция, выплачиваемая в конце года под номером– период, равный отрезку времени от конца года под номером j до окончания инвестиций; q – ставка дисконтирования, которая в данном случае используется как ставка наращения.

Далее алгоритм аналогичен рассмотренному выше в подпараграфе 6.8.1 для определения срока окупаемости при одноразовой инвестиции. Следующим шагом алгоритма определения периода окупаемости является определение номера года, в течение которого проект окупится. Осуществляется последовательное сравнение суммы дисконтированных па конец инвестиций доходов за заданные промежутки времени с суммой инвестиций, приведенных к моменту их завершения. Вначале находят дисконтированный доход за первый год, затем – сумму доходов за два первых года и т.д. Для определения суммы дисконтированных доходов используют соотношение

где j – номер года, отсчитываемый после окончания инвестиций. Методом итераций находят значение т, для которого выполняются неравенства

Период окупаемости лежит между концом периода под номероми концом периода под номером т.

И наконец, алгоритм определения периода окупаемости предусматривает метод определения недостающей части периода. Этот метод рассмотрен нами в подпараграфе 6.8.1 и поясняется на рис. 6.5. В данном случае, так же как и прежде, принимается, что поступления изменяются по линейному закону. Недостающую часть года находят по формуле

Из сказанного следует, что период окупаемости определяется формулой

Пример 12. Определите период окупаемости проекта, платежи которого выплачиваются в конце года и распределены но годам следующим образом: -2; -4; 4; 4; 5. Ставка дисконтирования принимается равной 20% годовых.

Решение

Найдем сумму инвестиций, приведенных к моменту их завершения:

Найдем сумму дисконтированных доходов для первого года после окончания инвестиций:

Так как 3,333 < 6,4, то делаем второй шаг:

Так как 6,111 < 6,4, то делаем третий шаг:

Так как 9,005 > 6,4, срок окупаемости лежит между концом второго и концом третьего года. Недостающая часть года

Таким образом, срок окупаемости равенгада.

Основной недостаток показателя "период окупаемости" состоит в том, что он не учитывает весь срок функционирования проекта. Все платежи, которые лежат за пределами этого срока, никак не сказываются на значении этого показателя. Из двух проектов, имеющих равные периоды окупаемости, первый после окончания срока окупаемости может давать большие доходы, а второй – малые. Однако исследуемый показатель ничего об этом не говорит. Отсюда следует, что при неравномерных денежных потоках рассматриваемый недостаток проявляется наиболее сильно. Поэтому срок окупаемости не служит критерием выбора проекта, а используется лишь в виде ограничения при принятии решения.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >