Оценка параметров уравнения парной регрессии, теорема Гаусса – Маркова

Вновь вернемся к модели парной регрессии как частному случаю линейной модели множественной регрессии. Теперь оценим эту модель с помощью процедур, сформулированных в теореме Гаусса – Маркова.

Предполагаем, что для решения задачи так же имеем спецификацию модели в форме (5.1) и выборку наблюдений за переменными х и у размерностью и.

Тогда матрицы X и ХT имеют вид:

Произведение этих матриц есть

Соответственно обратная матрица:

(5.42)

Для получения системы нормальных уравнений необходимо еще вычислить:

(5.43)

Подставляя (5.42) и (5.43) в выражение (5.31), получаем:

(5.44)

Сравнив (5.44) с (5.6), т.е. полученным ранее решением задачи в точечном виде, убеждаемся в их идентичности.

Найдем стандартные ошибки оценок параметров. Для этого воспользуемся выражением (5.32), имея в виду, что на диагонали ковариационной матрицы расположены искомые дисперсии.

(5.45)

Следовательно, дисперсии параметров модели парной регрессии можно вычислить по формулам

(5.46)

(5.47)

После несложных преобразований полученные выражения приводятся к виду (5.15) и (5.16).

Прогноз в точке вычисляется по формуле (5.34). Осталось найти ошибку прогнозного значения .

Эта ошибка вычисляется по формуле (5.35). Для ее применения необходимо вычислить второе слагаемое подкоренного выражения. Обратная матрицаизвестна (5.42).

Осталось умножить на нее вначале транспонированный вектор х, а затем просто вектор х.

(5.48)

Прибавив и отняв из числителя (5.48), вспомнив, что, после несложных преобразований в итоге получается выражение

Окончательно выражение (5.35) принимает вид:

(5.49)

Последнее выражение также полностью соответствует полученному выше выражению при решении задачи в точечном виде.

Завершая рассмотрение задачи получения оптимальных оценок параметров линейной модели, обратимся к системе (4.16), полученной для вычисления оценок параметров модели парной регрессии методом максимального правдоподобия. Легко видеть, что полностью совпадает с системой нормальных уравнений (5.5), которая получена с помощью метода наименьших квадратов. Система уравнений (4.16) получена исходя из предположения, что случайное возмущение по всех наблюдениях – это нормально распределенная переменная с параметрами 0 и. При этом мы показали, что для нормально распределенной случайной переменной ММП дает несмещенные и эффективные опенки первого параметра нормального закона распределения. Отсюда следует, что если случайное возмущение, то и МНК-оценки параметров линейной модели также будут оптимальными.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >