Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Экономика arrow Эконометрика

Тест Голдфельда – Квандта

Метод наименьших квадратов позволяет получить несмещенные и эффективные оценки параметров линейной модели множественной регрессии только в случае выполнения ряда условий, накладываемых на случайные возмущения, которые сформулированы в теореме Гаусса – Маркова. Получив МНК-оценки параметров модели необходимо убедиться в выполнении этих условий, а в случае их невыполнения предпринять меры к исправлению ситуации.

Первая предпосылка теоремы Гаусса – Маркова (5.27) требует, чтобы математическое ожидание случайных возмущений во всех наблюдениях было равно нулю. Эту предпосылку, как правило, не проверяют, так как в случае, если спецификация содержит свободный коэффициент а0, МНК обеспечивает выполнение данного требования автоматически.

Поэтому сразу переходим к обсуждению второй предпосылки теоремы: условию гомоскедастичности, или однородности, или одинаковости дисперсий случайных возмущений во всех наблюдениях ().

Начнем с понятия "гомоскедастчности". Разберемся, почему мы говорим о количественных характеристиках переменной в наблюдениях. Ведь мы имеем лишь одно i-е наблюдение. Предполагается следующая ситуация. Рассмотрим для определенности первое наблюдение . Получив первую выборку результатов наблюдений за переменными модели, увидим, что в первом наблюдении случайное возмущение получило значение . Если получить вторую выборку наблюдений за тем же объектом того же объема, то окажется, что во второй выборке в первом наблюдении случайное возмущение имеет значение . Сделав т выборок, получим набор значений случайной переменной и, оказавшихся на месте первого наблюдения. Другими словами, переменная в каждом наблюдении, представляет собой условное распределение случайной переменной. Условное, потому что это распределение соответствует заданному значению вектора экзогенных переменных .

Это относится и к значению эндогенной переменной. Эндогенная переменная у при каждом фиксированном значении вектора представляет собой условное распределение случайной величины.

Гомоскедастичность это ситуация, в которой случайные возмущения подчиняются одному и тому же закону распределения. Пример гомоскедастичпой модели приведен на рис. 7.1.

Предполагается, что в этой модели случайное возмущение подчиняется нормальному закону распределения с одинаковыми параметрами.

Пример эконометрической модели с гомоскедастичными остатками

Рис. 7.1. Пример эконометрической модели с гомоскедастичными остатками

На рис. 7.2 приведен пример модели с гетероскедастичнъши остатками. Предполагается, что вид закона распределения в каждом условном распределении одинаковый, но значение параметра а в них отличаются.

Пример модели с гетероскедастичными остатками

Рис. 7.2. Пример модели с гетероскедастичными остатками

Последствиями гетероскедастичности случайных возмущений является потеря несмещенности значений стандартных ошибок параметров. Ошибки значений параметров оказываются завышенными. Это, в свою очередь, может привести к некорректности результатов тестирования статистической значимости параметров линейной модели. Действительно, в основе теста лежит дробь Стьюдента:

Если ошибка завышена, то значение дроби Стьюдента оказывается заниженным и возможна ситуация, что причиной принятия гипотезыявляется завышенное значение ошибки параметра, а не его статистическая незначимость.

В основу идей тестирования моделей на присутствие гетероскедастичности лежит предположение о том, что гетероскедастичность есть результат зависимости дисперсий случайных возмущений от абсолютных значений регрессоров. Это предположение сделано на основе опытных данных: замечено, что ошибка случайных возмущений чаще всего растет с ростом абсолютных значений регрессоров. Например, рассмотрим модель зависимости государственных расходов на образование от объема ВВП. Сравним два государства: США и Куба. ВВП США исчисляется в триллионах долларов, ВВП Кубы в десятках миллиардов долларов. Практика показывает, что на образование государства расходуют 3–5% ВВП. Эти 3–5% ВВП в США на несколько порядков превосходят 3–5% для Кубы. Естественно, что и разброс значений расходов на образование внутри этих 3–5% в США значительно выше, чем на Кубе.

Для тестирования гетероскедастичности используются несколько тестов. Мы познакомимся с двумя из них.

Наиболее популярным является тест Голдфельда – Квандта. Он построен на двух предположениях:

  • 1) ошибки случайных возмущений зависят от абсолютных значений регрессоров;
  • 2) случайные возмущения имеют нормальный закон распределения.

Идея теста проста. Раз мы предположили, что ошибка случайного возмущения зависит от абсолютных значений регрессоров, давайте поступим следующим образом. Сформируем из имеющейся выборки наблюдений две группы, в которых объединим в одной наблюдения с небольшими значениями регрессоров, а в другой – наблюдения с большими значениями регрессоров. Построим модели по этим группам наблюдений и проверим гипотезу о том, что ошибки случайных возмущений для этих моделей будут одинаковыми. Если это так, то можно считать, что модель в целом гомоскедастична.

Рассмотрим процесс тестирования гетероскедастичности с помощью теста Голдфельда – Квандта в виде алгоритма.

Шаг 1. В качестве показателя веса абсолютных значений регрессоров в наблюдении примем величину

(7.1)

Замечание. Переменнаяне является регрессором модели, а служит только для решения поставленной задачи.

Замечание. Константа 1 в (7.1) – регрессор, стоящий при параметре, если свободный параметр отсутствует в спецификации линейной модели множественной регрессии, то и константа 1 отсутствует в выражении (7.1).

В (7.1) суммируются абсолютные значения регрессоров в одном наблюдении.

Будем предполагать, что ошибка случайного возмущения пропорциональна весу регрессоров (7.1):

(7.2)

Шаг 2. Имеющаяся выборка наблюдений за переменными экономического объекта сортируется по возрастанию (убыванию) значений переменной.

В результате выполнения этого шага строки в выборке наблюдений расположатся так, что в ее начале соберутся наблюдения с небольшими весами регрессоров, а в ее конце – наблюдения с большими значениями веса регрессоров.

Шаг 3. Отсортированная таким образом выборка делится на три примерно равные по объему части.

В результате этого действия получим два фрагмента выборки. В первой трети выборки будут собраны наблюдения с небольшими абсолютными значениями регрессоров, в последней – наблюдения с большими абсолютными значениями регрессоров.

Замечание. Средний фрагмент выборки исключается из рассмотрения при дальнейшей реализации теста Голдфельда – Квандта.

Иногда, при небольших объемах выборки, ее делят на две части, чтобы не потерять информативность отдельных ее частей при оценивании модели.

Шаг 4. Для первого и третьего фрагментов выборки независимо оцениваются модели линейной регрессии:

В результате оценки для каждой модели можно получить значение дисперсии случайного возмущенияи

Статистическая гипотеза, которая подвергается тестированию, имеет вид:

Для проверки гипотезы вводится случайные переменные (статистики):

(7.3)

Обе переменные подчиняются закону распределения Фишера с параметрамии. Следовательно, для заданного значения доверительной вероятности(уровня значимости критерия) можно найти критическое значение дроби Фишера, сравнив с которым вычисленные значения статистики, можно сделать вывод о принятии выдвинутой гипотезы.

Гипотеза о равенстве дисперсий во фрагментах выборки принимается, если

(7.4)

Замечание. Для удобства вычислений на практике разбиение исходной выборки на фрагменты осуществляется таким образом, чтобы объемы первого и третьего фрагментов были равны:. Тогда значения статистик Голдфельда –

Квандта (7.3) примут более простой вид:

(7.5)

Пример. Построим и протестируем на отсутствие гетероскедастичности модель "государственные расходы на образование в зависимости от объема ВВП".

В табл. 7.1 приведены данные по государственным расходам на образование и ВВП в различных странах.

Данные отсортированы по возрастанию величины, жирным шрифтом выделены первый и третий фрагменты выборки.

Таблица 7.1

Государственные расходы на образование в зависимости от объема ВВП

п/п

Страна

Госрасходы на образование

(y)

ВВП

(x1)

Страна

Госрасходы на образование (y)

ВВП

(x1)

1

Люксембург

0,34

5,67

18

Турция

1,60

66,97

2

Уругвай

0,22

10,13

19

Саудовская

Аравия

6,40

115,97

3

Сингапур

0,32

11,34

20

Бельгия

7,15

119,49

4

Ирландия

1,23

18,88

21

Швеция

11,22

124,15

5

Израиль

1,81

20,94

22

Австралия

8,66

140,98

6

Новая

Зеландия

1,27

23,83

23

Аргентина

5,56

153,85

7

Гонконг

0,67

27,56

24

Нидерланды

13,41

169,38

8

Венгрия

1,02

22,16

25

Испания

4,79

211,78

9

Португалия

1,07

24,67

26

Мексика

5,46

186,33

10

Чили

1,25

27,57

27

Канада

18,90

261,41

11

Греция

0,75

40,15

28

Бразилия

8,92

249,72

12

Финляндия

2,80

51,62

29

Италия

15,95

395,52

13

Норвегия

4,90

57,71

30

Велико

британия

29,90

534,97

14

Дания

4,45

66,32

31

Франция

33,59

655,29

15

Австрия

4,26

76,88

32

ФРГ

38,62

815,00

16

Югославия

3,50

63,03

33

Япония

61,61

1040,45

17

Швейцария

5,31

101,65

34

США

181,30

2586,40

Результаты оценки моделей по фрагментам выборки приведены на рис. 7.3.

Жирным шрифтом выделены значения ESS.

Результаты тестирования модели на гомоскедастичность

Рис. 7.3. Результаты тестирования модели на гомоскедастичность

Из приведенных данных, очевидно, что гипотеза о гомоскедастичности случайных возмущений отклоняется.

 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы