Тест ранговой корреляции Спирмена

В основу теста также положено предположение о том, что дисперсия случайного возмущения связана с абсолютными значениями регрессоров.

При этом никаких дополнительных предположений относительно вида функцииили ограничений закона распределения случайных возмущений не делается. Идея теста заключается в том, что абсолютная величина остатковсвязана с оценкой ее стандартной ошибки. Поэтому в случае гетероскедастичности абсолютные значения остаткови абсолютные значения вектора регрессоров будут коррелированными.

Тест Спирмена основан на вычислении коэффициента ранговой корреляции между случайными возмущениями и абсолютными значениями вектора

(7.6)

где u – объем выборки; – разность между рангами но абсолютным значениям вектораи случайного возмущения

Замечание. Под рангом понимается порядковый номер наблюдения в выборке, отсортированной по значению модуля(ранг по) или по(ранг по вектору).

В случае отсутствия гетероскедастичности коэффициент ранговой корреляциидолжен равняться нулю, т.е. основная гипотеза принимает вид. Так как закон распределения случайной переменнойнеизвестен, то для тестирования гипотезы формируется случайная переменная:

(7.7)

Случайная переменнаяподчиняется нормальному закону распределения, при условии, что . Для нормального распределения можно вычислить для заданной доверительной вероятности критическое значениеи, если выполняется условие, то нулевая гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается.

Пример. Проведем тестирование на гетероскедастичность случайных возмущений с помощью теста Спирмена для задачи моделирования объема государственных расходов на образование в различных странах в зависимости от объема ВВП (рассмотренный ранее пример). На рис. 7.3 приведены исходные данные, рассчитанные значения модулей случайных возмущенийи ранги по весу вектораи абсолютному значению

Замечание. На практике ранжирование выборки наблюдений с помощью приложения EXCEL не сложно. Для этого достаточно вначале отсортировать строки выборки по X (в общем случае пор,) и пронумеровать их в полученном порядке. Вы получите значения рангов по X. Затем нужно отсортировать выборку по абсолютным значениям, вновь пронумеровать результат сортировки. Получится столбец, содержащий значения рангов по.

По полученным данным (табл. 7.2) вычисляется столбец

Таблица 7.2

Результаты расчетов для применения теста Спирмена

№	Госрасходы на образование (у)	ВВП (л)	Ранг под:	и	Ранг по и		№	Госрасходы на образование (у)	ВВП (х)	Ранг по д•	и	Ранг по и
11	0,75	40,15	11	0,38	1	10	4	1,23	18,88	4	2,29	18	-14
18	1,60	66,97	16	0,56	2	14	14	4,45	66,32	15	2,33	19	-4
17	5,31	101,65	18	0,83	3	15	23	5,56	153,85	23	2,41	20	3
19	6,40	115,97	19	0.96	4	15	5	1,81	20,94	5	2,73	21	-16
7	0,67	27.56	9	1,15	5	4	13	4,90	57,71	13	3,36	22	-9
15	4,26	76,88	17	1,44	6	11	30	29,90	534,97	30	3,56	23	7
20	7,15	119,49	20	1,48	7	13	27	18,90	261,41	28	3,73	24	4
22	8,66	140,98	22	1,55	8	14	24	13,41	169,38	24	4,40	25	-1
16	3,50	63,03	14	1,60	9	5	26	5,46	186,33	25	4,68	26	-1
12	2,80	51.62	12	1,67	10	2	21	11,22	124,15	21	5,24	27	-6
10	1,25	27,57	10	1,73	И	-1	28	8,92	249,72	27	5,46	28	-1
9	1,07	24,67	8	1,74	12	-4	33	61,61	1040,45	33	5,67	29	4
8	1,02	22,16	6	1.86	13	-7	25	4,79	211,78	26	7,06	30	-4
2	0,22	10,13	2	1,86	14	-12	31	33,59	655,29	31	7,92	31	0
3	0,32	11,34	3	1,88	15	-12	29	15,95	395,52	29	8,19	32	-3
6	1,27	23,83	7	2,00	16	-9	34	181,30	2586,40	34	10,61	33	1
1	0,34	5,67	1	2,28	17	-16	32	38,62	815,00	32	13,58	34	-2

В результате получаем:

Полученное значение необходимо сравнить с двусторонней квантилью нормального распределения при и параметрами (0; 1,33). Это значение можно вычислить с помощью функции НОРМОБР (0.05; 0.3) = 2.58.