Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Экономика arrow Эконометрика

Оценивание модели в условиях гетероскедастичности случайных возмущений

Подход к решению проблемы устранения гетероскедастичности сводится к искусственному преобразованию спецификации модели таким образом, чтобы условие гомоскедастичности выполнялось тождественно. Для понимания этого подхода начнем рассмотрение вопроса с частного случая, когда известны дисперсии случайных возмущений в каждом наблюдении.

Пример. Мы имеем спецификацию модели множественной линейной регрессии, выборку наблюдений за переменными модели для ее идентификации и множество значений дисперсии соответствующих каждому наблюдению. Разделим левую и правую части модели на соответствующее значение стандартной ошибки (корень из дисперсии):

(7.8)

Найдем количественные характеристики величины:

Получилось, что во всех наблюдениях величинаимеет нулевое математическое ожидание и постоянную дисперсию. Если ввести новые переменные

(7.9)

и сделать замену переменных, то получим спецификацию модели в виде

(7.10)

Спецификация (7.10) вновь представляет собой линейную модель множественной регрессии. Для нее необходимо создать выборку наблюдений за переменными (7.9), по ним оценить модель (7.10), убедиться в ее качестве и вновь проверить на гомоскедастичность.

Замечание. В спецификации (7.10) отсутствует свободный от регрессора параметр. При параметре появился регрессор .

Слабость такого подхода заключается в том, что им на практике невозможно воспользоваться. Как правило, нет возможности априори оценить ошибку случайных возмущений в каждом уравнении.

Вместе с тем, этот пример подсказывает направление действий для устранения гетероскедастичности. Необходимо задать правило вычисления стандартных ошибок случайных возмущений, разделить на эти ошибки переменные модели и сделать замену переменных. В результате появляется возможность получить модель с гомоскедастичными остатками.

Воспользуемся предположением тестов Голдфельда – Квандта и Спирмена о том, что ошибки случайных возмущений связаны с абсолютными значениями регрессоров. Предположим, что стандартную ошибку случайных возмущений, можно представить в виде

(7.11)

где– показатель степени, с помощью которого учитывается возможность нелинейной связи между ошибкой остатка и абсолютным весом регрессоров.

Заменив в (7.8)на(7.11), получим:

(7.12)

Количественные характеристики случайной переменной Введя новые переменные

(7.13)

и сделав соответствующую замену, вновь получим модель в виде линейного алгебраического уравнения с гомоскедастичными остатками.

Остается открытым вопрос о значении. Начинают процесс устранения гетероскедастичности со значения . Если при модель (7.12) остается гетероскедастичной, то вводится приращение(например,) и модель (7.12) проверяется на гетероскедастичность при Меняя знак и абсолютное значение приращения, добиваются выполнения соотношений (7.4).

Функцию (7.11) называют весовой функцией. Заметим, что в спецификации модели вида (7.12) значения р, во всех наблюдениях будут равны. Говорят, что преобразование (7.13) выравнивает веса регрессоров во всех наблюдениях.

Пример. При построении модели государственных расходов на образование от объема ВВП выяснилось (рис. 7.1), что модель имеет гетероскедастичные остатки, т.е. гипотеза о выполнении второй предпосылки теоремы Гаусса – Маркова не принимается.

Применим описанный выше алгоритм для исправления гетероскедастичности. Примем, вычислим значениядля каждого наблюдения и разделим на него значенияи введем регрессор(табл. 7.3).

В табл. 7.3 приведены результаты исправления гетероскедастичности: значения преобразованных переменных и проверка полученной модели на гомоскедастичность. Серым выделены фрагменты выборки и значения ESS. Как видно из приведенных данных, исправить гетероскедастичность удалось уже при

Таблица 7.3

Результаты исправления гетероскедастичности

п/п

Страна

1

2

3

4

5

1

Люксембург

0,0510

0,1499

0,8501

2

Уругвай

0,0198

0,0898

0,9102

3

Сингапур

0,0259

0,0810

0,9190

4

Ирландия

0,0619

0,0503

0,9497

5

Израиль

0,0825

0,0456

0,9544

6

Новая Зеландия

0,0511

0,0403

0,9597

7

Гонконг

0,0235

0,0350

0,9650

0,0442

0,0237

0,0000

8

Венгрия

0,0440

0,0432

0,9568

0,0106

0,1558

#н/д

9

Португалия

0,0417

0,0390

0,9610

0,8484

0,0199

#н/д

10

Чили

0,0438

0,0350

0,9650

27,9826

10,0000

#н/д

11

Греция

0,0182

0,0243

0,9757

0,0222

0,0040

#н/д

12

Финляндия

0,0532

0,0190

0,9810

13

Норвегия

0,0835

0,0170

0,9830

14

Дания

0,0661

0,0149

0,9851

GQ1=

1,24746

15

Австрия

0,0547

0,0128

0,9872

GQ2=

0,80162

16

Югославия

0,0547

0,0156

0,9844

2,68663

17

Швейцария

0,0517

0,0097

0,9903

18

Турция

0,0235

0.0147

0,9853

19

Саудовская

Аравия

0,0547

0,0085

0,9915

20

Бельгия

0,0593

0,0083

0,9917

21

Швеция

0,0897

0,0080

0,9920

22

Австралия

0,0610

0,0070

0,9930

23

Аргентина

0,0359

0.0065

0,9935

0,0585

-2,6350

0,0000

24

Нидерланды

0,0787

0,0059

0,9941

0,0098

2,5834

#н/д

25

Испания

0,0225

0,0047

0,9953

0,9043

0,0178

#н/д

26

Мексика

0,0291

0,0053

0,9947

47,2491

10,0000

#н/д

27

Канада

0,0720

0,0038

0,9962

0,0301

0,0032

#н/д

28

Бразилия

0,0356

0,0040

0,9960

29

Италия

0,0402

0,0025

0,9975

30

Великобритания

0,0558

0,0019

0,9981

31

Франция

0,0512

0,0015

0,9985

32

ФРГ

0,0473

0,0012

0,9988

33

Япония

0,0592

0,0010

0,9990

34

США

0,0701

0,0004

0,9996

На рис. 7.4 приведены диаграмма рассеяния исходных данных и графики двух моделей: прерывистая линия – модель гетероскедастичная, сплошная линия – модель гомоскедастичная.

Как видно на рис. 7.4 гомоскедастичная модель, в данном случае, проходит ниже гетероскедастичной. Это является следствием того, что при исправлении гетероскедастичности остатков регрессии был выровнен вес всех наблюдений. В исходном состоянии абсолютное значение ВВП для США в разы превосходило соответствующие значения для всех остальных стран, что при формальном применении процедуры МНК приводило к "притягиванию" линии к последней точке. Выравнивание весов всех наблюдений увеличило влияние большинства наблюдений на расположение модельной прямой.

Пример. Оценим и проанализируем на присутствие гетероскедастичности модель зависимости расходов на жилье в зависимости от располагаемого дохода и индекса цен на жилье.

Диаграмма рассеяния исходных данных и графики двух моделей

Рис. 7.4. Диаграмма рассеяния исходных данных и графики двух моделей

В табл. 7.4 приведена выборка данных наблюдений и значения вспомогательной переменной при

Таблица 7.4

Выборка данных и значения вспомогательной переменной pt

№ п/п

Расходы на жилье, у

Доход, X,

Индекс цен, С,

Pt

1

60,9

479,7

104,5

585,2

2

64,0

489,7

104,5

595,2

3

67,0

503,8

105,1

609,9

4

70,7

524,9

105,0

630,9

5

74,0

542,3

104,8

648,1

6

77,4

580,8

104,5

686,3

7

81,6

616,3

104,0

721,3

8

85,3

646,8

102,6

750,4

9

93,5

701,3

100,9

803,2

10

98,4

722,5

100,0

823,5

11

102,0

751,6

99,6

852,2

12

106,4

779,2

100,0

880,2

13

112,5

810,3

100,0

911,3

14

124,2

858,4

95,1

954,5

15

118,2

865,3

99,1

965,4

16

128,3

875,8

93,3

970,1

17

89,1

873,5

102,2

976,7

18

134,9

906,8

93,7

1001,5

19

141,3

942,9

94,5

1038,4

20

148,5

988,8

94,7

1084,5

21

154,8

1015,5

93,8

1110,3

22

159,8

1021,6

93,0

1115,6

23

164,8

1049,3

94,2

1144,5

24

167,5

1058,3

96,7

1156,0

25

171,3

1095,4

99,7

1196,1

Спецификация модели имеет вид:

Ограничимся только тестированием модели на гомоскедастич- ность остатков, опустив анализ качества спецификации.

Приведенные данные отсортированы по переменной В табл. 7.5 данные, по которым проводится анализ, выделены жирным шрифтом.

Таблица 7.5

Результаты построения моделей с помощью функции "ЛИНЕЙН" и значения статистик Голдфельда – Квандта

Для "нижней" трети

-2,876

0,295

130,3

0,634

0,027

69,962

0,963

5,563

79,020

6

4891,13

185,691

Для "верхней" трети

1,096

0,155

-126,4

0,638

0,011

72,018

0,990

1,221

299,25

6

891,98

8,924

Приведенные результаты свидетельствуют о наличии гетероскедастичности.

Исправление гетероскедастичности начинаем при В табл. 7.6 приведены данные дня оценки спецификации вида

(7.14)

Таблица 7.6

№ п/п

Расходы на жилье, у/Р

1

Доход, хt

Индекс цен, Сt

1

0,104

0,002

0,820

0,179

2

0,108

0,002

0,823

0,176

3

0,110

0,002

0,826

0,172

4

0,112

0,002

0,832

0,166

5

0,114

0,002

0,837

0,162

6

0,113

0,001

0,846

0,152

7

0,113

0,001

0,854

0,144

8

0,114

0,001

0,862

0,137

9

0,116

0,001

0,873

0,126

10

0,119

0,001

0,877

0,121

11

0,120

0,001

0,882

0,117

12

0,121

0,001

0,885

0,114

13

0,123

0,001

0,889

0,110

14

0,130

0,001

0,899

0,100

15

0,122

0,001

0,896

0,103

16

0,132

0,001

0,903

0,096

17

0,091

0,001

0,894

0,105

18

0,135

0,001

0,905

0,094

19

0,136

0,001

0,908

0,091

20

0,137

0,001

0,912

0,087

21

0,139

0,001

0,915

0,084

22

0,143

0,001

0,916

0,083

23

0,144

0,001

0,917

0,082

24

0,145

0,001

0,915

0,084

25

0,143

0,001

0,916

0,083

В результате тестирования модели (7.14) на гомоскедастичпость с показателем степени весовой функциистатистика Голдфельда – Квандта получила значение: GQ= 7,914, что больше критического значения распределения Фишера Модель осталась гетероскедастичной.

Принимаем приращение для показателя степени весовой функциии проводим построение и анализ модели (7.14) для ряда. Результаты расчетов приведены в табл. 7.7

Таблица 7.7

Результаты расчетов

μ

1,0

0,13

7,91

3,18

1,5

0,20

4,80

2,0

0,32

3,02

2,5

0,53

1,88

При дальнейшей вариации абсолютным значением и знакомметодом половинного деления можно добиться выполнения соотношения. Но в этом необходимости нет, так как в условиях стохастичности достаточно выполнения такой гипотезы в статистическом смысле при заданной доверительной вероятности. Процесс подбора значения μ можно остановить на

 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы