Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Экономика arrow Эконометрика

Тестирование модели на автокоррелируемость случайных возмущений и оценка моделей в условиях автокорреляции

Тест Дарбина – Уотсона

Продолжим анализировать оцененную линейную модель на соответствие предпосылкам, изложенным в теореме Гаусса – Маркова. Мы уже рассмотрели методы тестирования второй предпосылки теоремы, а именно, предпосылки о гомоскедастичности случайных возмущений. На очереди третья предпосылка теоремы: о независимости случайных наблюдений в уравнениях наблюдений:

(7.19)

Причинами автокорреляции случайных возмущений могут быть:

  • – ошибки спецификации модели (пропуск важного регрессора, неправильный вид объясняющей части модели);
  • – ошибки измерения переменных модели;
  • – характер наблюдений и характер процесса.

Если причиной автокорреляции является ошибка в спецификации модели, то такую автокорреляцию называют ложной.

Автокорреляция чаще всего встречается при анализе данных временного ряда, т.е. в случаях, когда выборка данных имеет упорядоченный вид и при анализе процессов, имеющих циклический характер. Случайное возмущение подвергается воздействию тех переменных, влияющих на эндогенную переменную, которые не включены в спецификацию модели. Если значение случайного наблюдения в любом наблюдении должно быть независимым от его значения в предыдущем наблюдении, то и значение любой переменной, "скрытой" в случайном возмущении, не должно зависеть от ее значения в предыдущих наблюдениях.

Для экономических процессов наиболее типичным является случай положительной автокорреляции. Она является следствием постоянной направленности воздействия тех переменных, которые не вошли в спецификацию модели. Характерным признаком наличия положительной автокорреляции случайных возмущений является периодическое чередование зон с одинаковыми знаками случайного возмущения. Пример модели с положительной автокорреляцией случайных возмущений приведен на рис. 7.5.

Пример диаграммы рассеяния с положительной автокорреляцией случайных возмущений

Рис. 7.5. Пример диаграммы рассеяния с положительной автокорреляцией случайных возмущений

Возможен и другой вид автокорреляции – отрицательная автокорреляция (рис. 7.6). Характерным признаком наличия отрицательной автокорреляции является пилообразный вид ломаной кривой, соединяющей последовательные наблюдения.

Пример диаграммы рассеяния с отрицательной автокорреляцией случайных возмущений

Рис. 7.6. Пример диаграммы рассеяния с отрицательной автокорреляцией случайных возмущений

Модели с автокоррелировапными остатками называются авторегрессионными.

В зависимости от глубины взаимного влияния случайных возмущений, рассматривают различные авторегрессионные модели. Например, модель считается авторегрессионной первого порядка AR (1), если взаимосвязь между двумя последовательными случайными возмущениями имеет место соотношение

В авторегрессионной модели третьего порядка AR (3) случайные возмущения связаны соотношением

Последствия автокорреляции случайных возмущений в регрессионных моделях сводятся к тому, что стандартная ошибка оценок параметров модели теряет свойство несмещенности. При этом ее значение, как правило, становится заниженным. Однако оценки параметров остаются несмещенными, так как предполагается, что первая предпосылка теоремы Гаусса – Марковав уравнениях наблюдений выполняется.

Наибольшее распространение при тестировании моделей на отсутствие автокорреляции между случайными возмущениями получил тест Дарбина – Уотсона. Его важность определяется тем, что он позволяет идентифицировать, как ложную, так и истинную автокорреляцию. Этот тест рассматривает наиболее важный, частный случай, третьей предпосылки теоремы Гаусса – Маркова:

при

Иными словами, рассматривается случай взаимного влияния случайных возмущений в соседних наблюдениях.

В основе теста лежат следующие предположения:

  • • случайные возмущения подчиняются нормальному закону распределения;
  • • тип авторегрессии AR (1), т.е. случайные возмущения связаны между собой правилом:

Статистика Дарбина – Уотсона, с помощью которой тестируется модель па автокорреляцию, имеет вид:

(7.20)

где i – номер наблюдения; п– количество наблюдений;– значение случайного возмущения.

Для того, чтобы оценить область возможных значений статистики Дарбина – Уотсона раскроем скобки и преобразуем выражение (7.20):

Принято во внимание, что при достаточно больших значениях п:

то можно записать:

(7.21)

Так как коэффициент корреляции, то

Из (7.21) следует:

  • 1) при р = -1 DW = 0, что соответствует наличию отрицательной автокорреляции между соседними случайными возмущениями;
  • 2) при р = 1 DW = 4, что соответствует положительной корреляции между соседними случайными возмущениями;
  • 3) при р = 0 DW = 2, что соответствует отсутствию корреляционной зависимости между случайными возмущениями.

Оказалось, что критическое значение статистики Дарбина – Уотсона зависит не только от значения доверительной вероятности, количества регрессоров в модели и числа наблюдений, но еще и от абсолютных значений регрессоров. Это обстоятельство не дает возможности найти единое для любой модели и любой выборки значение . Получается, что в каждом конкретном случае(для каждой выборки) необходимо искать свое значение.. Это неудобно.

Выяснилось, что возможно найти отрезок, внутри которого будут находиться все возможные значения для , т.е.. Значениянаходятся

с помощью таблицы, соответствующей выбранному уровню значимостипо количеству наблюдений в выборке

и количеству регрессоров в спецификации модели.

Тогда для принятия решения относительно наличия или отсутствия автокорреляции можно построить следующую схему. Отложим отрезок [0; 4] и на нем отметим значения

Если реальное значение статистики DW попало на периферийные отрезкиили, то гипотеза об отсутствии автокорреляции (выполнении третьей предпосылки теоремы Гаусса – Маркова) отклоняется.

Если реальное значение статистики DW оказалось внутри отрезка(в окрестности точки DW = 2), то гипотеза о выполнении третьей предпосылки теоремы Гаусса – Маркова принимается.

Если реальное значение статистики DW оказалось внутри интервалов или , то определенного вывода сделать нельзя. Эти интервалы называются зонами неопределенности.

Единственный способ раскрыть неопределенность – это воспользоваться другой выборкой. Но мы уже отмечали, что получение дополнительной выборки в экономике дело проблематичное (по времени, стоимости, последствиям). В качестве альтернативной может быть использована исходная выборка, увеличенная или уменьшенная на одно наблюдение. Альтернативной выборкой может служить и исходная выборка с измененной последовательностью наблюдений. Это изменит значение числителя в (7.20), а, следовательно, значение DW. Проследив тенденцию перемещения значений DW вдоль отрезка [0; 4], можно определиться с принятием гипотезы об автокорреляции случайных возмущений.

Алгоритм реализации теста Дарбина – Уотсона можно представить в виде последовательности следующих действий.

Шаг 1. По результатам наблюдений за переменными объекта оценивается модель линейной регрессии.

Шаг 2. Для каждого уравнения наблюдения оценивается значение случайного возмущения.

Замечание. Уравнение линейной регрессии имеет вид:

Оценка (прогноз) значений эндогенных переменных в каждом уравнении наблюдения есть

Тогда оценка значения случайного возмущения в наблюдении за номером t равна

Шаг 3. В соответствующей статистической таблице (см. Приложение) по значениям k (число регрессоров в модели) и п (объем выборки) находятся числа и .

Шаг 4. Проверить на какой отрезок попало вычисленное значение статистики Дарбина – Уотсона.

Пример. Продолжим анализ модели государственных расходов на образование в зависимости от ВВП (табл. 7.8).

Таблица 7.8

Исходные данные по странам, а также промежуточные результаты анализа модели на автокорреляцию

п/п

Страна

Государственные расходы на образование

(у)

ВВП

(*l)

и

1

Люксембург•

0,34

5,67

-1,941

2,28

-

2

Уругвай

0,22

10,13

-1,642

1,86

-0,42

3

Сингапур

0,32

11,34

-1,561

1,88

0,02

4

Ирландия

1,23

18,88

-1,057

2,29

0,41

5

Израиль

1,81

20,94

-0,919

2,73

0,44

6

Новая

Зеландия

1,27

23,83

-0,726

2,00

-0,73

7

Гонконг

0,67

27,56

-0,476

1,15

-0,85

8

Венгрия

1,02

22,16

-0,838

1,86

0,71

9

Португалия

1,07

24,67

-0,67

1,74

-0,12

10

Чили

1,25

27,57

-0,476

1,73

-0,01

11

Греция

0,75

40,15

0,3658

0,38

-1,34

12

Финляндия

2,80

51,62

1,133

1,67

1,28

13

Норвегия

4,90

57,71

1,5404

3,36

1,69

14

Дания

4,45

66,32

2,1163

2,33

-1,03

15

Австрия

4,26

76,88

2,8227

1,44

-0,90

16

Югославия

3,50

63,03

1,8962

1,60

0,17

17

Швейцария

5,31

101,65

4,4796

0,83

-0,77

18

Турция

1,60

66,97

2,1598

-0,56

-1,39

19

Саудовская

Аравия

6,40

115,97

5,4375

0,96

1,52

20

Бельгия

7,15

119,49

5,6729

1,48

0,51

21

Швеция

11,22

124,15

5,9846

5,24

3,76

22

Австралия

8,66

140,98

7,1104

1,55

-3,69

23

Аргентина

5,56

153,85

7,9713

-2,41

-3,96

24

Нидерланды

13,41

169,38

9,0101

4,40

6,81

25

Испания

4,79

211,78

11,846

-7,06

-11,46

26

Мексика

5,46

186,33

10,144

-4,68

2,37

27

Канада

18,90

261,41

15,166

3,73

8,42

28

Бразилия

8,92

249,72

14,384

-5,46

-9,20

29

Италия

15,95

395,52

24,137

-8,19

-2,72

30

Великобритания

29,90

534,97

33,465

-3,56

4,62

31

Франция

33,59

655,29

41,513

-7,92

-4,36

32

ФРГ

38,62

815,00

52,196

-13,58

-5,65

33

Япония

61.61

1040,45

67,277

-5,67

7,91

34

США

181,30

2586,40

170,69

10,61

16,28

Оцененная модель получила вид:

(7.22)

По оцененной модели (7.22) вычислены прогнозные значения расходов на образование (столбец) и оценки случайных возмущений в каждом наблюдении.

В последнем столбце табл. 7.8 вычислены значения ().

Расчет производится с. Далее вычисляется:

В результате получаем

По таблице 7.8 значения и . Тогда имеем , следовательно, оцененная модель (7.22) является авторегрессионной моделью первого порядка (выполнение третьей предпосылки теоремы Гаусса – Маркова отклоняется).

Модель (7.22) связывает абсолютные показатели ВВП с абсолютными значениями расходов на образование без учета численности населения в странах. Элементарные экономические рассуждения наводят на мысль о том, что имеет смысл рассматривать расходов на образование одного человека в зависимости от ВВП, приходящегося на каждого человека, т.е. связывать в модели не абсолютные, а относительные показатели расходов и доходов. В табл. 7.9 приведены соответствующие данные в относительных единицах.

Таблица 7.9

Данные по странам в относительных единицах

п/п

Страна

Государственные расходы на образование (у)

ВВП

(*l)

и

1

Люксембург

0,94

15,75

1,0279

-0,08

-

2

Уругвай

0,10

4,42

0,197

-0,10

-0,02

3

Сингапур

0,13

4,74

0,2205

-0,09

0,01

4

Ирландия

0,36

5,49

0,2751

0,08

0,17

5

Израиль

0,47

5,41

0,2694

0,20

0,12

6

Новая Зеландия

0,41

7,69

0,4364

-0,03

-0,23

7

Гонконг

0,13

5,44

0,2712

-0,14

-0,11

8

Венгрия

0,10

2,07

0,0242

0.07

0,21

9

Португалия

0,11

2,48

0,0547

0,05

-0,02

10

Чили

0,11

2,48

0,0547

0,06

0,00

11

Греция

0,08

4,18

0,1793

-0,10

-0,16

12

Финляндия

0,59

10,80

0,6647

-0,08

0,02

13

Норвегия

1,20

14,11

0,9076

0,29

0,37

14

Дания

0,87

12,95

0,8228

0,05

-0,24

15

Австрия

0,57

10,24

0,6235

-0,06

-0,10

16

Югославия

0,16

2,82

0,0794

0,08

0,13

17

Швейцария

0,83

15,96

1,0432

-0,21

-0,29

18

Турция

0,04

1,49

-0,018

0,05

0,26

19

Саудовская Аравия

0,76

13,86

0,889

-0,12

-0,18

20

Бельгия

0,73

12,12

0,7615

-0,04

0,09

21

Швеция

1,35

14,94

0,9685

0,38

0,42

22

Австралия

0,59

9,64

0,5799

0,01

-0,37

23

Аргентина

0,21

5,69

0,2896

-0,08

-0,10

24

Нидерланды

0,95

11,98

0,7513

0,20

0,28

25

Испания

0,13

5,66

0,2875

-0,16

-0,36

26

Мексика

0,08

2,76

0,0752

0,01

0,17

27

Канала

0,79

10,92

0,6735

0,12

0,11

28

Бразилия

0,07

2,03

0,0213

0,05

-0,06

29

Италия

0,28

6,93

0,3812

-0,10

-0,15

30

Великобритания

0,53

9,56

0,5739

-0,04

0,06

31

Франция

0,63

12,20

0,7675

-0,14

-0,10

32

ФРГ

0,63

13,24

0,8437

-0,22

-0,07

33

Япония

0,53

8,91

0,5261

0,00

0,22

34

США

0,80

11,36

0,706

0,09

0,09

Оцененная по приведенным данным модель получила вид:

(7.23)

где– государственные расходы на обучение одного жителя;– объем ВВП на одного жителя.

Результаты тестирования модели (7.23) на автокоррелируемость случайных возмущений:

Значения и остались прежними, а ∙, что свидетельствует об отсутствии автокорреляции между последовательными случайными возмущениями в модели (7.23). Полученный результат говорит, что автокорреляция случайных возмущений в модели (7.22) ложная, т.е. вызвана неудачной спецификацией модели.

 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 
Популярные страницы