Прогнозирование по линейной модели и тестирование ее на адекватность

После изучения главы 8 студент должен:

знать

  • • процедуру вычисления оптимального прогноза эндогенной переменной по линейной модели множественной регрессии;
  • • алгоритм тестирования линейной модели множественной регрессии на адекватность;
  • • точечный и интервальный подход к прогнозированию и проверке адекватности линейной модели;

уметь

  • • вычислять прогнозные значения эндогенной переменной в точечной и интервальной форме;
  • • вычислять ошибку прогноза в каждой точке контрольной выборки;
  • • тестировать на адекватность линейную модель множественной регрессии в точечной и интервальной форме;
  • • анализировать результаты построения линейной эконометрической модели;

владеть

  • • математическим аппаратом проверки статистических гипотез;
  • • методикой построения и анализа линейных эконометрических моделей;
  • • навыками использования программного обеспечения персональных компьютеров, в частности, использования табличного процессора EXCEL.

Прогнозирование с помощью оцененной линейной модели множественной регрессии

Проверка адекватности тесно связана с прогнозированием с помощью построенной модели. Поэтому начнем ее изучение с рассмотрения вопроса получения наилучшего прогноза с помощью линейной регрессионной модели.

В теореме Гаусса – Маркова сформулировано правило получения наилучшего прогноза по линейной модели в точке

(8.1)

Для получения прогнозного значения эндогенной переменной в некоторой точке достаточно в спецификации модели заменить символическое обозначение параметров значениями оценок этих параметров с помощью МНК. Естественно, что точкане принадлежит выборке наблюдений. Нет никакого практического смысла прогнозировать уже известное из практики значение эндогенной переменной. Исключения составляют случаи проверки статистических гипотез, статистики которых содержат оценки значений случайных возмущений (например, статистика DW).

Замечание. В (8.1) отсутствует значение случайного возмущения, которое присутствовало в спецификации модели.

Это объясняется тем, что мы не можем значение случайного возмущения ни наблюдать, ни прогнозировать. Случайное возмущение появилось в спецификации модели с целью обеспечения однозначной связи между эндогенной переменной и регрессорами. По (8.1) вычисляется оценка математического ожидания (среднего значения) эндогенной переменной, в котором отсутствует случайное возмущение в силу первой предпосылки теоремы Гаусса – Маркова.

Однако оценка среднего значения есть величина случайная, которая вычисляется с некоторой ошибкой. Следовательно, значение, вычисленное по (8.1) необходимо дополнить значением оценки стандартной ошибки прогнозирования.

Теорема Гаусса – Маркова дает ответ на вопрос, как вычисляется ошибка прогнозирования:

(8.2)

где– стандартная ошибка случайных возмущений; точка, в которой оценивается прогнозное значение; X – матрица коэффициентов системы уравнений наблюдений.

Таким образом, с помощью (8.1) и (8.2) мы можем вычислить в интересующей нас точке среднее значение эндогенной переменной и значение ее стандартной ошибки.

Такой способ прогнозирования часто называют точечным.

На практике чаще применяют интервальный метод прогнозирования. Его идея заключается в том, чтобы оценить числовой интервал, в котором с заданной доверительной вероятностью могут лежать реальные значения эндогенной переменной. Для вычисления границ этого интервала, который принято называть доверительным, воспользуемся статистикой Стьюдента t для оценки модуля разности между прогнозным и реальным значением эндогенной переменной. Условие проверки статистической гипотезы о равенстве нулю разности между прогнозным и реальным значениями эндогенной переменной выглядит следующим образом:

(8.3)

где– прогнозное значение эндогенной переменной в интересующей точке; у – ожидаемое значение эндогенной переменной в той же точке; – значение стандартной ошибки прогноза в той же точке; – критическое значение дроби Стьюдента при заданном значении доверительной вероятности (значимости) и известном значении

Решив неравенство (8.3) относительно у, получим:

(8.4)

Из (8.4) видно, что ожидаемое значение эндогенной переменной в заданной точке с вероятностьюможет принять любое значение внутри интервала

(8.5)

Имея границы доверительного интервала, легко оценить множество возможных значений, которые может принять эндогенная переменная с известной доверительной вероятностью. Преимущество интервального способа прогнозирования заключается в его наглядности, что и сделало его популярным среди специалистов.

Пример. Построим линейную модель зависимости объема внутреннего национального продукта (у) от объема национального потребления (с) и объема инвестиций (∕) и оценить возможный объем ВНП, если объем потребления достигнет уровня с = 14,5 млрд долл., а объем инвестиций /= 4,0 млрд долл.

Исходные данные для построения модели приведены в табл. 8.1.

Таблица 8.1

Данные для построения модели

№ п/п

у, млрд долл.

c, млрд долл.

I, млрд долл.

1

14

8

1,65

2

16

9,5

1,8

3

18

11

2

4

20

12

2,1

5

23

13

2,2

6

23,5

14

2,4

7

25

15

2,65

8

26,5

16,5

2,85

9

28,5

17

3,2

10

30,5

18

3,55

Модель, оцененная по данным табл. 8.1, имеет вид:

(8.6)

Опустим необходимый анализ модели и перейдем к оценке прогнозного значения ВНП при заданных значениях объема потребления (с = 14,5) и объема инвестиций I = 4,0. Воспользовавшись результатом (8.6), вычислим среднее значение ВНП в заданных условиях:

(8.7)

Дополнительно необходимо вычислить оценку стандартной ошибки в точке прогнозирования. Чтобы воспользоваться (8.2), необходимо сформировать матрицу X коэффициентов уравнений наблюдений.

Замечание. Пользуясь функцией "ЛИНЕЙН", табличного процессора EXCEL, нам не приходилось формировать матрицу X. Достаточно было присвоить переменной "Константа" значение один или ноль и функция "ЛИНЕЙН" сама выполняла необходимые преобразования. В случае использования процессора EXCEL, на этапе прогнозирования и проверки адекватности модели создавать матрицу X придется самостоятельно.

В данном примере матрица X имеет вид;

(8.8)

Векторпримет вид:

Замечание. Единицы в первом столбце матрицы X и единица в векторе появились в связи с тем, что в спецификации модели присутствует параметр . В случаях, когда параметр отсутствует в спецификации модели, в матрице X и векторе отсутствуют соответственно столбец из единиц и единица.

Значение константы q в (8.2) удобно вычислять в два этапа. На первом этапе вычислить матрицу . Она не зависит от точки прогнозирования. Затем вычислить значение q для точки прогнозирования при известной матрице

Последовательность операций при вычислении обратной матрицы с помощью процессора EXCEL.

  • 1. На листе EXCEL выделяетсяобласть, в которую предполагается поместить матрицу
  • 2. Набирается следующая командная строка:

= МОБР (МУМПОЖ (ТРАНСП ([X]; [X])).

После этого последовательно нажимается комбинация клавиш Cntr + Shit + Enter. Выделенная область будет заполнена числовыми значениями матрицы

[X] – означает "выделить мышкой" область, занимаемую матрицей X.

Замечание. Напомним, что матрица – квадратная, ее размерность равна количеству столбцов в матрице X.

Для вычисления значения константы q достаточно позиционировать курсор в выбранной ячейке и набрать командную строку:

В выделенной ячейке появится значение константы q.

Для данного примера имеем:

В результате точечный прогноз имеет вид:.

Найдем границы доверительного интервала возможных значений эндогенной переменной для (, ):

Следовательно, в данном примере ожидаемый объем ВНП может принять любое значение из интервала (23,74; 26,86).

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >