Многомерная нормально распределенная генеральная совокупность
При рассмотрении различных моделей статистического анализа часто предполагается нормальное распределение всех или некоторых признаков генеральной совокупности. Говорят, что непрерывная k-мерная случайная величина распределена нормально, если плотность распределения вероятностей имеет вид [8, 10]
(2.3)
где
– i-мерный вектор математических ожиданий;
– матрица, обратная ковариационной матрице
размерности
– определитель ковариационной матрицы.
Напомним, что матрица
является симметрической и положительно определенной.
Таким образом, многомерный нормальный закон распределения определяется вектором математических ожиданий µ и ковариационной матрицей
, т.е.
параметрами генеральной совокупности.
Пример 2.1
Покажем, что при к = 1 имеет место одномерный нормальный закон распределения.
Решение
В самом деле, при 
. Тогда 
, а обратная матрица 
. Подставляя найденные значения в выражение (2.3), имеем
Мы получили плотность распределения одномерного нормального закона, зависящего от двух параметров: математического ожидания р и среднего квадратического отклонения а.
Приняв к = 2 в выражении (2.3), выведем плотность двумерного нормального закона распределения.
Решение
При к = 2 имеем
где
– ковариации. Тогда, приняв
, получим
Отсюда согласно выражению (2.3) получим
Разделив числитель и знаменатель на 
и учитывая, что
, получим
(2.4)
Учитывая также, что 
(2.5)
Из выражений (2.4) и (2.5) следует, что плотность двумерного нормального закона распределения определяется пятью параметрами: математическими ожиданиями р, и р2 случайных величин х{ и д2, их средними квадратическими отклонениями 0|,а2 и коэффициентом корреляции р.
Если случайные величины х1 и х2 некоррелированы, т.е. линейно независимы, то р = 0 и согласно формулам (2.4) и (2.5) имеем
i. Таким образом, в случае нормального распределения
из некоррелированности случайных величин х, и х2 следует их независимость [29].
Можно показать, что в случае нормально распределенной генеральной совокупности:
- • все условные распределения при фиксировании различных подмножеств компонент являются нормальными;
- • все частные распределения различных подмножеств компонент являются нормальными;
- • необходимым и достаточным условием взаимной независимости компонент (или подмножеств компонент) является равенство нулю соответствующих коэффициентов корреляции;
- • все квадратические уравнения регрессии являются линейными, поэтому в качестве показателей тесноты связи можно использовать всевозможные коэффициенты корреляции (детерминации).
