Статистическая проверка гипотез для многомерных генеральных совокупностей

Сравнение вектора генеральных средних со стандартом. Рассматривается ^-мерная генеральная совокупность распределения Л'Др, X), где |х| * 0. По выборке объема п из этой генеральной совокупности определены вектор средних арифметических и несмещенная оценка s ковариационной матрицы 2.

Если ковариационная матрица известна, то для проверки гипотезы о равенстве вектора генеральных средних стандартному (заданному) значению Н0: р = р() против альтернативы Я,: р Ф р0 применяется статистика

имеющая распределение у} с числом степеней свободы = к при справедливости гипотезы Я0.

Если же ковариационная матрица 2 неизвестна, то можно воспользоваться статистикой Хотеллинга

Как уже было сказано, при истинности Н0 имеет место равенство

Поэтому для критической областиможно вычислить с помощью таблиц Е-распределения.

Напоминаем, что применяемые статистики являются обобщениями соответствующих статистик для одномерной случайной величины. Это следует из того факта, что квадрат нормированной нормально распределенной (одномерной) случайной величины имеет распределение у} с одной степенью свободы, а квадрат случайной величины, имеющей Г-распределение Стьюдента, имеет f-распределение с числами степеней свободы 1 и п – 1.

Сравнение двух генеральных совокупностей. Генеральные совокупности однородны, если кроме одних и тех же признаков они имеют одинаковые законы распределения вероятностей.

Рассмотрим две нормально распределенные совокупности X и Y. Их распределения полностью определяются заданием параметров pr, 2Г и р(/, Х(/. Следовательно, для проверки однородности этих совокупностей достаточно сравнить их ковариационные матрицы 2Д. и 2,;. Затем в случае принятия гипотезы о равенстве этих ковариационных матриц надо сравнить генеральные средние рА и р совокупностей [13].

Для сравнения матриц генеральных коэффициентов ковариации проверяется гипотеза Н0: 2Д = £(/ против Я,: 2Д ■*- 2 с уровнем значимости а на основе выборок из совокупностей соответственно объемов пх и п„.

В качестве статистики критерия проверки берется случайная величина W = Ьа, где

Sx – несмещенная оценка ковариационной матрицы с элементами

Sv – несмещенная оценка ковариационной матрицы с элементами

– несмещенная оценка ковариационной матрицы, полученная по суммарной выборке, так как

При справедливости гипотезы Я0, достаточно больших пх и пу, а также при достаточно малой величине

статистика IT аппроксимируется распределением х2 с числом степеней свободы

Таким образом, критическая область имеет вид

Если WHa6,, = Ъа попадает в критическую область (Wlla6;l > W ), то гипотеза Я0: £г = 2(/ отвергается с вероятностью ошибки а. Тогда считается доказанным, что ковариационные матрицы £, и не равны и, следовательно, генеральные совокупности неоднородны.

Если Wm6!l не попало в критическую область < VVKp), го гипотеза Нп: Xr = не противоречит наблюдениям и обычно принимается, т.е. считается, что ковариационные матрицы £Л. и £ равны. После этого переходят к сравнению генеральных средних, т.е. к проверке на уровне значимости а гипотезы Я0: рд. = ц при Я,: рЛ ф р.

Для проверки применяется критерий, основанный на статистике Хотел- линга вида

Если гипотеза Я0: р, = р,, справедлива, то статистики Г2 и F связаны формулой

гденаходится по таблицам /•'- распределения Фишера – Снедекора с числом степеней свободы в числителе V|= к и в знаменателе . Критическая область имеет вид

Если гипотеза Я0: рг = р отвергается с вероятностью ошибки а, то считается доказанной неоднородность генеральных совокупностей X и У. Если же гипотеза Я0: р, = р(/ не отвергается, то, принимая эту гипотезу, мы считаем, что генеральные совокупности однородны.

Пример 2.1

Сравним деятельность двух групп предприятий по показателям фондовооруженности и производительности труда на основе выборочных данных (в условных единицах), приведенных в табл. 2.3.

Таблица 2.3

Сравнение деятельности двух групп предприятий по показателям фондовооруженности и производительности труда, усл. ед.

Первая группа предприятий X

Вторая группа предприятий Y

фондовооруженность

производительность труда дг2

фондовооруженность у у

производительность труда у2

56

52

58

74

51

64

56

75

52

63

62

71

72

68

69

83

67

59

62

78

51

62

65

72

52

64

59

80

50

68

71

70

59

70

38

60

60

70

47

65

-

74

60

59

76

Решение

Будем предполагать, что приведенные в табл. 2.3 выборки взяты из двумерных нормально распределенных генеральных совокупностей . с неизвестными параметрами

и

Проверим на уровне значимости а = 0,05 гипотезу о равенстве ковариационных матриц £д. и 2Д.. Вычислим оценки основных параметров двух генеральных совокупностей:

Для вычисления статистики критерия получим значения определителей матриц оценок ковариаций:

Тогда

Следовательно,

По таблицам распределениянайдем при критическое значение>. Так какне попало в критическую область , то мы гипотезуне отвергаем и будем считать ковариационные матрицы генеральных совокупностей равными. Заметим, что в этом примере значение С, равное 0.0015316. подтверждает правильность аппроксимации распределения W распределением

Теперь можно проверить гипотезу о равенстве генеральных средних на уровне значимости а = 0,05 против альтернативы

Находим обратную матрицу для

Тогда наблюдаемое значение статистики Т2 есть а критическое значениеесть

Так как , гипотеза о равенстве векторов генеральных средних отвергается с вероятностью ошибки 0.05. Следовательно, можно считать доказанным, что генеральные совокупности неоднородны. Таким образом, есть основания на указание существенности различия в двух способах организации производства но данным выборки.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >