Меню
Головна
 
Главная arrow Инвестирование arrow Инвестиции

Модель Блэка – Шоулза (BSM)

Биномиальная модель строится на достаточно жестких предпосылках: 1) известны дискретные значения будущей цены акции; 2) известны вероятностные распределения движения цены. BSM является частным случаем биноминальной модели, аналитическое выражение для цены позволяет легко проводить расчеты. Сегодня многие карманные калькуляторы имеют программы "Black – Scholes", кроме того, существуют многочисленные компьютерные приложения для применения модели. Однако построение BSM основывается на ряде достаточно упрощенных предпосылок:

  • 1) рассматривается европейский опцион колл, который реализуется по одному базовому рискованному активу;
  • 2) в качестве временно́го интервала между различными моментами времени по биномиальной модели рассматривается изменение цены акции;
  • 3) цена акции меняется постоянно и временны́е интервалы в модели очень короткие (t стремится к нулю);
  • 4) теоретически при очень коротких временны́х интервалах цены акции во времени либо изменяются очень слабо и изменение цены может быть описано непрерывным нормальным распределением (распределение Гаусса), либо изменения цен огромны, имеют место скачки цен и вероятностное распределение должно характеризоваться как пуассоновское. Модель Блэка – Шоулза исходит из слабых колебаний цены и возможности использования нормального распределения.

Нормальное распределение допускает отрицательные значения результата, что не соответствует характеристикам акции как финансового актива (цена акции не может опуститься ниже нуля, так как ответственность акционеров ограничена). Поэтому в модель вводится распределение натурального логарифма цен акции (логнормальное);

5) логарифм базового актива следует стохастическому процессу Винера, который описывается следующим уравнением:

где α – ожидаемая доходность логарифма базового актива; S – стандартное отклонение доходности логарифма базового актива (предполагается, что данная величина постоянна); dz – дифференциал стандартного процесса Виннера (виннеровского процесса) со средним значением "ноль" и дисперсией dt.

Предполагается, что изменения цены имеют ненулевое направление (всегда существует ожидание на повышение цены в долгосрочной перспективе), а также дисперсию, отличную от единицы. Этих предпосылок достаточно для выполнения леммы Ито, которая представляет собой дифференциальное уравнение, описывающее изменение цены любого производного инструмента. В основе аналитической формулы стоимости европейского опциона Блэка – Шоулза лежит лемма Ито;

  • 6) отсутствуют дивидендные выплаты;
  • 7) опцион может быть исполнен только в фиксированный момент времени (европейский опцион);
  • 8) факторами, определяющими цену опциона являются: а) текущая цена акции 5; б) цена исполнения X; в) срок жизни опциона (время до момента исполнения опциона) (t, г) безрисковая доходность, соответствующая сроку действия опциона kf (если срок действия опциона – два года, то и kf отражает годовую процентную ставку безрискового инвестирования на два года при непрерывном начислении); д) степень изменчивости натурального логарифма цены базового актива, например, акции (дисперсия δ2);
  • 9) нейтральность инвестора к риску;
  • 10) отсутствие транзакционных издержек и других несовершенств рынка (например, налогов). Отсутствие ограничений на короткие продажи. Все ценные бумаги бесконечно делимы;
  • 11) кредитные и депозитные ставки равны между собой; безрисковая ставка процента постоянна в течение срока жизни опциона.

BSM определяет равновесную цену колл (С), которая нс позволяет инвесторам получить арбитражный доход. Логика построения следующая: если в какой-то момент действительная цена опциона отличается от оценки по модели, то инвестор имеет возможность сформировать портфель из продажи опционов колл и покупки базового актива (акций) и без риска получить доходность, превышающую заданную процентную ставку. Рост таких сделок приведет к выравниванию модельной оценки и складывающейся на рынке цены.

Аналитическая формула Блэка – Шоулза:

Цена опциона = (Текущая цена актива)- (Текущая оценка цены исполнения)

или

При базовом активе – акции с текущей ценойоценка опциона колл равна

где (X) – текущая оценка (PV) цены исполнения при непрерывном дисконтировании; – ставка процента (безрисковая доходность), соответствующая сроку жизни опциона, рассчитанная но формуле непрерывного наращения; t – срок жизни опциона, т.е. число лет между сегодняшним моментом времени и моментом исполнения опциона; е – основание натурального логарифма (<? = 2,71828); N(d) – интегральная функция плотности нормального распределения (normal cumulative density function), показывающая вероятность того, что при нормальном распределении со средней, равной нулю, и величине стандартного отклонения, равной единице, результат будет меньше значения d.

Пример 3

Рассмотрим компанию "Венатор", акции которой в 2007 г. торгуются на рынке по цене 60 долл. На конец 2007 г. компания рассматривала целесообразность покупки опциона колл сроком пять лет (до 2012 г.). Цена исполнения – 80 долл. Пятилетние государственные облигации в текущий момент времени обеспечивают доходность 10% годовых. Дисперсия по годовым колебаниям цен акций данной компании равна 0,14. Подставив исходные данные в модель, получаем

По таблице накопленного нормального распределения N(х) для х > 0 находим'.

2)

Справедливая стоимость опциона 23,84 долл.

Приведенный пример показывает, что для оценки опциона колл необходимо сделать следующие шаги.

1. Оценить пять переменных рассматриваемого опциона:

Для безрисковой ставки (г) необходимо перевести начисление процента из дискретного (discret, d) в непрерывное (continuum, с) время в соответствии со следующей формулой:

Безрисковая ставка процента в непрерывном времени может быть следующим образом выражена через дискретную ставку

Например, для ставки 8% в дискретном времени соответствующая непрерывная ставка составит 7,7%.

  • 2. Рассчитать значения и для оценки функций накопленного нормального распределения и .
  • 3. Найти текущую (приведенную) оценкуцены исполнения в предположении непрерывного времени
  • 4. По формуле найти оценку опциона С.

Дадим ряд практических замечаний по расчету параметров модели.

В модели все параметры должны быть оценены на годовой базе (и срок до исполнения опциона, и стандартное отклонение цен). Например, если срок до исполнения составляет четыре месяца, то в параметрах модели принимаем

Для применения формулы Блэка – Шоулза необходимо оценить дисперсию (или стандартное отклонение) логарифма цен базового актива. Расчет идет в два этапа:

■ оценка стандартного отклонения логарифма доходности акции (обычно без учета дивидендов);

■ приведение полученной оценки к годовой базе.

Пример 4

Обозначим цены рассматриваемого базового актива (например, акции) как

Этап 1.Логарифм доходности в период t (т.е. непрерывное наращивание доходности за период) определяется как

,

где – непрерывное наращивание доходности по акции за период.

Этап 2. Расчет волатильности на годовой основе (годового стандартного отклонения) по формуле Стандартное отклонение

Ниже приведены значения корректирующего множителя для различного количества наблюдений, проводимых в течение года:

■ месячные значения цен (13 наблюдений цен, 12 значений доходности) – 121/2;

■ еженедельные наблюдения – 521/2;

■ ежедневные значения котировок (приблизительно 250 рабочих дней в году) – 2501/2.

Обычно пользуются еженедельными базами данных.

Для примера покажем расчет стандартного отклонения помесячных данных цен акций компании XY (табл. 31.4). Для применения в модели BSM стандартное отклонение равно 15,94%.

Таблица 31.4

Пример расчета стандартного отклонения помесячных данных цен акций

Точки

наблюдения

Цена акции, ден. ед.

Месячная

доходность

Логарифм месячной доходности

120.5

Декабрь 1999 г.

29,9

Ln(-)

Январь 2000 г.

30,0

1,003344

0,0033

3,4641

Февраль 2000 г.

29,8

0,993333

-0,0067

Март 2000 г.

29,0

0,973154

-0,0272

Апрель 2000 г.

28,97

0,998966

-0,001

Май 2000 г.

30,2

1,042458

0,0416

Июнь 2000 г.

31,4

1,039735

0,039

Июль 2000 г.

28,7

0,914013

-0,0899

Август 2000 г.

29,4

1,02439

0,0241

Сентябрь 2000 г.

30,6

1,040816

0,04

Октябрь 2000 г.

29,2

0,954248

-0,0468

Ноябрь 2000 г.

31,3

1,071918

0,0694

Декабрь 2000 г.

33,0

1,054313

0,0529

Стандартное отклонение логарифма месячной доходности

Произведение стандартного отклонения и 120-5

0,046036

0,1595

Искомое значение годового стандартного отклонения

15.94%

Введем дополнительные данные по компании XYза 2001 г. и рассчитаем цепу колл.

Пусть на 17 мая 2001 г. текущая цена акции компании XY равна 38 долл. Цена исполнения – 40 долл. Время действия опциона – 40 дней (т.е. число дней между текущей датой – 17 мая 2001 г. и датой исполнения – 26 июня 2001 г.). В формуле Блэка – Шоулза все параметры даны в годовом исчислении, т.е. Т = 40/365 = 0,1096. Безрисковая доходность – 5%. Стандартное отклонение оценено по недельным данным за 60 дней до 17 мая 2001 г. и затем пересчитано в годовое значение.

Оценка базового актива – 38 долл. цена исполнения – 40 долл.;

стандартное отклонение –18% (дисперсия – 0,0324); срок жизни опциона – 0,1096 года; годовая безрисковая ставка – 5%.

Цена пут в BSM

Как было показано ранее, паритет колл/пут имеет вид

Цена колл – Цена пут = Текущая цена акции – Текущая оценка цены исполнения =

Следовательно, справедливая цена пут в модели Блэка – Шоулза:

 
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы