Расчет цепей с несколькими источниками ЭДС
Эту тему обсудим для двух случаев, когда источники ЭДС соединены с сопротивлениями последовательно и когда в параллельных ветвях схемы присутствуют источники ЭДС.
Последовательная цепь. Рассмотрим следующий качественный пример.
Даны величины ЭДС и сопротивлений в схеме по рис. 2.5, а. Требуется свернуть схему в более простую, например по рис. 2.4, б, которая эквивалентна исходной.
Рис. 2.5
Решение
А. Согласно второму правилу Кирхгофа для схем по рис. 2.5, а и б при обходе их по ходу часовой стрелки можно записать следующие уравнения:
Схемы по рис. 2.5, а и б будут эквивалентными при условии равенства левых и правых частей приведенных уравнений. Поэтому
Выражения (2-21) и (2-22) показывают, что эквивалентные ЭДС Еэ и сопротивление R3 неразветвленной цепи с несколькими ЭДС и сопротивлениями равны алгебраической и арифметической соответственно суммам ЭДС Е{, Е2,Еп и сопротивлений R{, R2>Rrr При этом можно принять, что сопротивление /?э ветви с ЭДС Е3 является ее внутренним сопротивлением.
Из рис. 2.5, б очевидны следующие равенства:
Если удалить нагрузку (оборвать ветвь с /?„), т.е. создать для ЭДС Еэ режим холостого хода (RH = «>,/ = /н = 0), то, как очевидно из рис. 2.5, б или из последнего выражения, Еэ = Un. Это подтверждает раннее высказанное утверждение, что при х.х. источника ЭДС и напряжение на его зажимах равны между собой.
Параллельная цепь. Даны величины ЭДС и сопротивлений параллельной цепи по рис. 2.6, а. Требуется свернуть исходную схему в простейшую по рис. 2.6, б.
Решение
А. Первый закон Кирхгофа применительно к схеме по рис. 2.6, а запишется так:
где, согласно закону Ома,
Рис. 2.6
Подставив токи из последнего уравнения в первое и проделав соответствующие преобразования, получим
где
Для схемы по рис. 2.6, б, согласно закону Ома,
Приравняв правые части выражений (2-23) и (2-25) и проделав соответствующие преобразования, будем иметь
где п — число параллельных ветвей с ЭДС; т — число всех параллельных ветвей, не считая ветви с нагрузкой.
Выражение (2-26) читается так: эквивалентная ЭДС Е3 параллельных ветвей с ЭДС Еь Е2, Еп, объединяемых вместе, равна отношению алге
браической суммы произведений этих ЭДС на проводимости ветвей, куда они включены, к арифметической сумме проводимостей всех объединяемых ветвей схемы.
При этом произведения ЭДС и проводимостей берутся со знаком «+», если направления этих ЭДС не совпадают с направлением общего напряжения (напряжение на нагрузке), и со знаком «-», если они совпадают. Кроме того, в числителе (2-26) отсутствуют произведения ЭДС и проводимостей тех ветвей, где нет ЭДС, в то время как в знаменателе присутствуют проводимости всех объединяемых ветвей.
Обратим внимание на следующее важное обстоятельство. При выводе выражения (2-26) учитывались все ветви исходной схемы с проводимостями Gv G2,Grl, но не учитывалась ветвь нагрузки, которая также параллельна остальным ветвям.
Учитывая ветвь нагрузки с проводимостью GH, выведем формулу, с помощью которой можно вычислить напряжение на нагрузке Г/м, являющееся одновременно общим напряжением, приложенным ко всем ветвям схемы, или напряжением между верхним и нижним узлами схемы (узловое напряжение) по рис. 2.6, а.
Из (2.25) UH = (EdG3 - /„) / Gn. Подставив в это выражение значение /н из (2.23) и проделав соответствующие преобразования, получим
Выражение (2-26а) является формулой для расчета узлового напряжения Uyз = Un (в данном случае). Оно отличается от (2-26) только наличием проводимости нагрузки GH, т.е. учетом всех ветвей схемы по рис. 2.6, а.
В цепи по рис. 2.6, 6 ток I будет определяться по (2-25), т.е.
При удалении нагрузки в цени по рис. 2.6, 6 (1= 0, Rn = °о) Еэ = UH так же, как и в схеме по рис. 2.5, б, т.е. у источника питания, работающего в режиме х.х., эквивалентная ЭДС и напряжение на выходных зажимах равны между собой.
Вопросы для самопроверки
- 1. Как читается правило определения эквивалентной ЭДС при параллельном соединении ветвей с ЭДС?
- 2. Как читается правило определения узлового напряжения при параллельном соединении ветвей с ЭДС?
Решенные задачи
Задача 2.22. В цепи по рис. 2.5, а известны: Е{ = 24 В, Е2 = 12 В, Еп= 6 В, R{ = 1 Ом, R2 = 2 Ом, Rn = 3 Ом, Rtl = А Ом. Определить Uu и Р2.
Решение
4 = ?1-?2 + ?„=24-12 + 6=18В,Дэ = Д1 + Д2 + Д„=1+2 + 3 = 6 0м,/=?э/(Дэ + + Ru) = 18 / (6 + 4) = 1,8 А. Из формулы /= (Еэ - Uu) / R3 находим UH = Еэ - IR3 =18- - 1,8 • 6 = 7,2 В, Р2 = PR2 = 1,82 • 2 = 6,48 Вт.
Задача 2.23. В цени но рис. 2.6, а известны: Ех = 24 В, Е„ = 6 В, Rx = 1 Ом, R2 = 2 Ом, Rn = 3 Ом, Ru = 4 Ом. Определить UH и Р2.
Решение
G{ = 1 / Rx = 1 / 1 = 1 См, Gt = 1 / R2 = 1 / 2 = 0,5 См, Gn = 1 / Rn = 1 / 3 = 0,33 См, G4 = l/#4 = l/ 4 = 0,25 См.
Задача 2.24. В цепи по рис. 2.6, а известны: Ех = 24 В, Еп = 6 В, R{ = 1 Ом, R2 = 2 Ом, Rn = 3 Ом, Ru = 4 Ом. Определить узловое напряжение UYi и Р2.
Решение
При удалении нагрузки, т.е. при RH = или GH = GA = 1 / Rn = 0 (2.26а) преобразуется в (2.26), что иллюстрируется в разобранном примере (сравните значения Еэ и Uyз при Gn = С4 = 0).
Задачи, требующие решения
Задача 2.25. В цепи по рис. 2.5, а известны: Е{ = 13 В, Е2 = 5 В, Еп = 4 В, R{ = 1 Ом, R2 = 2 Ом, Rn = 3 Ом. Определить U„ и Р2.
Задача 2.26. В цепи по рис. 2.5, б известны: Uu = 10 В, R} = 2 Ом, RH= 10 Ом. Определить Еэ и Ри.
Задача 2.27. В цепи по рис. 2.6, а известны: Е{ = 12 В, Еп = 8 В, R{ = 1 Ом, R2 = 2 0м, Rn = Ru = 4 Ом. Определить токи в цепи.
Задача 2.28. В цепи но рис. 2.6, б известны: Uu = 10 В, G3 = 2 См, Gu = 10 См. Определить Еэ и Рэ.
