Метод узловых потенциалов

Методом узловых потенциалов называют метод расчета цепей, в котором при известных ЭДС и сопротивлениях (проводимостей) токи находят по закону Ома, определив сначала узловые потенциалы. Если в приведенном определении заменить последние два слова на «узловое напряжение», то метод узловых потенциалов проиллюстрирован частично выше, когда в схеме было только два узла. Метод применяется, когда число узлов без единицы (п - 1) в схеме меньше числа независимых контуров.

Порядок расчета цепи методом узловых потенциалов следующий:

1) намечают направления токов в ветвях произвольно;
2) принимают потенциал одного из узлов схемы равным нулю (узловую точку заземляют);
3) составляют систему уравнений для потенциалов остальных узлов;
4) решают указанную систему уравнений и находят потенциалы узлов;
5) по заданным ЭДС, проводимостям (сопротивлениям) и найденным узловым потенциалам определяют искомые токи по закону Ома.

Проиллюстрируем метод на следующем качественном примере. В схеме по рис. 2.9, а (ключ К разомкнут) известны значения ЭДС и сопротивлений (проводимостей). Найти токи в ветвях методом узловых потенциалов.

Рис. 2.9

Решение

1. Намечаем направления токов по рис. 2.9, а (ключ К разомкнут).
2. Заземляем узел 3, тогда его потенциал будет (р₃ = 0.
3. Составляем систему уравнений для потенциалов узлов 1 и 2 следующим образом.

Составляем уравнения токов по первому правилу Кирхгофа для узлов 1 и 2, приняв положительными притекающие к узлам токи и отрицательными — утекающие от них:

Запишем эти токи но закону Ома, считая, что потенциалы узлов, откуда токи направлены, выше, чем точки, куда они направлены:

4. Подставив (2-28а) в уравнение (2-28) и решив его, получим

Структура (2-29): в левых частях уравнений стоят произведения потенциалов узлов 1 и 2 на суммы проводимостей ветвей, примыкающих к этим узлам, и произведений потенциалов узлов 2 и 1 на проводимости ветвей, заключенных между узлами 1 и 2.

Решив (2-29), получим значения потенциалов q)j и ср₂.

5. Используя данные (E_v Е₂, ..., R₅) и полученные значения (cpj, ср₂),

находим искомые токи 1_Х — /₅ по (2-28а).

Формулу (2-27) можно также вывести, исходя из метода узловых потенциалов. Это доказывает, что метод узлового напряжения есть частный случай метода узловых потенциалов. Так, приняв в схеме по рис. 2.9, а (ключ К замкнут) потенциал ф₃ = 0, можно записать следующие уравнения:

откуда

Формула (2-30) в развернутом виде и есть (2-27).

Из рассмотренного очевидно, что в методе узловых потенциалов главное — определить систему уравнений для расчета узловых потенциалов. Поэтому напишем следующие обобщенные уравнения для схемы с п узлами:

где G_n = G_{ + G₂ + G₃ + ... — сумма проводимостей ветвей, примыкающих к узлу 1; G₂₂ = G₃ + G₄ + G₅ + ... — сумма проводимостей ветвей, примыкающих к узлу 2; G₁₂ = G₂ = G₃ + ... — сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы 1 и 2; /_и = E_XG_X +... — узловой ток узла 1; /₂₂ = E₅G₅ +... — узловой ток узла 2; /_и и /₂₂ — расчетные параметры, равные алгебраическим суммам произведений ЭДС источников на проводимости каждой из ветвей, присоединенной к рассматриваемому узлу. Произведения EG положительны, когда ЭДС направлены к рассматриваемому узлу, и отрицательны — когда ЭДС направлены от узла.

Если к узлу k подключен источник тока J_kk, то он должен быть записан в правой части системы (2-30) с соответствующим знаком.

Решенная задача

Задача 2.33. Найти токи в ветвях схемы по рис. 2.9, а (ключ К разомкнут) методом узловых потенциалов, если Е_{ = 6 В, Е₅ = 6 В, = R₂ = R₃ = #₄ = = R = 4 Ом.

Решение

Запишем систему уравнений согласно выражению (2-29):

Ф, (0,25 + 0,25 + 0,25) - ф₂ • 0,25 = 6 • О,25; <р₂(0,25 + 0,25 + 0,25) - ф, • 0,25 = -6 • 0,25,

где G_x = G₂ = G₃ = G₄ = G₅ = 1 / R₂ = 1 / 4 = 0,25 Cm.

Решение этой системы дает ф₁ = 1,5 В, ф₂ = -1,5 В.

С учетом найденных значений ф и данных задачи определяем токи по (2-28):

6. Проверяем правильность решения задачи по первому правилу Кирхгофа: Все верно.