Двухполюсники. Метод эквивалентного генератора

При анализе и синтезе сложных электрических цепей нередко бывает удобным пользоваться понятием о двухполюснике, под которым понимают часть электрической цепи произвольной конфигурации с двумя выделенными (вынесенными) выводами (зажимами, полюсами). Его изображают прямоугольником с двумя выводами. При этом, если внутри него имеется один и более источников ЭДС, то такой двухполюсник является активным и обозначается буквой А (рис. 2.10, а, в — д), если нет — пассивным и обозначается буквой П или вовсе не обозначается (рис. 2.10, б, е).

Рис. 2.10

На практике встречаются задачи, когда требуется определять ток в какой-либо ветви сложной схемы, не рассчитывая всю цепь. Такую задачу решают с использованием двухполюсников так называемым методом эквивалентного генератора.

Сущность метода эквивалентного генератора (его еще называют методом холостого хода — х.х. и короткого замыкания — к.з. или теоремой об активном двухполюснике) заключается в том, что из сложной схемы, представленной активным двухполюсником А (см. рис. 2.10, в), выделяется ветвь (например, аЬ), где нужно определить ток. По отношению к выделенной ветви аЪ двухполюсник заменяется эквивалентным генератором, ЭДС которого равна напряжению х.х. на зажимах выделенной ветви, а внутреннее сопротивление равно входному сопротивлению двухполюсника опять же со стороны выделенной ветви. Из получившейся схемы определяют искомый ток. Покажем, как это делается.

Понятно, что ток / не изменится, если в ветвь ab включить две равные и противоположно направленные ЭДС Е_х и Е₂ (см. рис. 2.10, г). Тогда в соответствии с методом наложения схему по рис. 2.10, г можно заменить двумя частичными схемами — по рис. 2.10, д и е. На рис. 2.10, д оставлены все источники ЭДС активного двухполюсника А и ЭДС E_t, на рис. 2.10, е оставлен лишь источник ЭДС Е₂, работающий на пассивный двухполюсник. Если тем или иным методом определить частичные токи Г и Г в схемах по рис. 2.10, д и е соответственно, то реальный ток ветви ab запишется так:

где Г — частичный ток ветви ab, вызванный ЭДС Е_х и всеми источниками ЭДС активного двухполюсника; Г — частичный ток, вызванный лишь ЭДС

е₂.

Закон Ома для ветви ab по рис. 2.10, д, очевидно, запишется так:

Подберем ЭДС Еа значит и Е_ъ таким образом, чтобы Г = 0. Это равносильно обрыву ветви ab или х.х., поэтому U_ab хх = Е_х = Е₂. С учетом этого выражение (2-32) примет вид: I = Г.

Закон Ома для схемы по рис. 2.10, б, очевидно, запишется так:

С учетом этого выражение (2-32) примет вид

где i?_BX — входное сопротивление пассивного двухполюсника по отношению к зажимам ab.

Если учесть, что Е₂ = Е_} = U_ab хх, a R_BX = R_B пассивного двухполюсника по отношению к зажимам ab, то выражение (2-34) можно переписать гак:

Полученному выражению соответствует схема по рис. 2.10, ж, где двухполюсник заменен цепью, состоящей из эквивалентного генератора с ЭДС Е_э и сопротивления R_} = R_BX.

Таким образом, чтобы, пользуясь методом эквивалентного генератора, найти ток в выделенной ветви, необходимо определить напряжение х.х. U_ab _хх и эквивалентное сопротивление R_:r Как показано выше, R₃ можно найти как входное R_liX, a U_abxx — методом, например, узлового напряжения.

Расчет тока в ветви по методу эквивалентного генератора выполняют по следующему алгоритму:

1) находят напряжение на зажимах разомкнутой ветви U_abxxi где требуется определить ток /;
2) определяют эквивалентное сопротивление R₃ как входное схемы R_uxпо отношению к зажимам разорванной ветви, исключив из схемы все ЭДС;
3) определяют искомый ток / по (2-34).

Решенная задача

Задача 2.34. В цепи по рис. 2.8, а даны: Е_х = 12 В, Е₂ = 6 В, R_{ = R₂ = = 4 Ом.

Определить ток /₂ в ветви 2 методом эквивалентного генератора.

Решение

1. Разрываем ветвь 2 и подсчитаем напряжение U_2xx между точками разрыва. Из полученной схемы (рис. 2.8, а без ветви 2) очевидно, что U_2xx является узловым напряжением между точками 1 и 2. Поэтому найдем его методом узлового напряжения, г.е.

2. Определяем входное сопротивление по отношению к зажимам разорванной ветви R_ux, исключив из схемы по рис. 2.8, а (без ветви 2) ЭДС Е_{ и Е_п:

3. Находим искомый ток по (2.35):