Способы изображения электрических величин. Векторные диаграммы
С целью упрощения математических операций и «наглядности» происходящих в цепях электромагнитных процессов синусоидальные электрические величины изображаются (представляются, записываются) в виде:
- а) временных диаграмм (рис. 3.1, а);
- б) радиусов-векторов (рис. 3.1, б) на числовой плоскости, вращающихся против хода часовой стрелки, длины (модули) которых равны или пропорциональны амплитудным (действующим) значениям, скорости вращения — угловым частотам, а первоначальные положения фиксируются начальными фазами, откладываемыми от оси абсцисс в сторону вращения векторов, если они положительны, и против — отрицательны. В качестве примера на рис. 3.1, б изображен ток i = Imsin(w? + у) в виде вектора 1т, начинающего свое вращение с положения, отсчитанного от оси cot против хода часовой стрелки на угол |/, поскольку этот угол положительный.
Приведенное утверждение доказывается просто (см. рис. 3.1, б): если радиус-вектор 1т начинает вращаться с угла |/, то его проекция на вертикальную ось, очевидно, будет i0 = Imsin )/; если же он за время t вдобавок еще «прошел путь», равный то г = Imsin(j/ + cot) = /msin(cot + |/);
в) комплексных чисел или радиусов-векторов на комплексной плоскости, вращающихся против хода часовой стрелки, длины (модули) которых равны или пропорциональны амплитудным (действующим) значениям, скорости вращения — угловым частотам, а первоначальные положения фиксируются начальными фазами, откладываемыми от вещественной оси в сторону вращения векторов, если они положительны, и против — если отрицательны (рис. 3.1, в).
Совокупность векторов на числовой или комплексной плоскости, построенных с соблюдением «правильной» ориентации друг относительно друга (построенных по правилам, изложенным выше), называется векторной диаграммой. Различают полярную и топографическую векторные диаграммы. В свою очередь, топографические подразделяют на диаграммы первого и второго родов. Поясним сказанное на следующем качественном примере.
Пусть по неразветвленной цепи (рис. 3.2, а) с двумя линейными элементами Zj, Z2, соединенными последовательно, протекает ток
вызывающий на этих элементах соответствующие падения напряжения:
Требуется найти мгновенное иас и действующее Uac значения напряжений цепи, а также начальную фазу иас.
Рис. 3.2
Решение
Пользуясь вторым законом Кирхгофа, запишем уравнение электрического равновесия цепи для мгновенных значений напряжений:
Помня о том, что в результате линейных операций над гармоническими функциями (сложение, вычитание, умножение, деление, дифференцирование, интегрирование) получаются гармонические же функции, можно записать ответ (3-3) в виде
Из последнего очевидно, что задача сводится к определению Uac и |/, которые можно найти, используя векторную диаграмму цепи. Для этого, изобразив мгновенные напряжения векторами на числовой плоскости, выражение (3-3) перепишем так:
Полученное векторное уравнение можно решить тремя способами: а) с помощью полярной векторной диаграммы (рис. 3.2 б), где векторы исходят из одной точки 0 (полюса); б) топографической векторной диаграммы первого рода (рис. 3.2, в), где построение диаграммы начинается с конца схемы (точки с). Характерным для такой диаграммы является то, что направления векторов на ней противоположны положительным направлениям напряжений, например вектор U_ab изображается направленным от b к а; в) топографической векторной диаграммы второго рода (рис. 3.2, г), где построение диаграммы начинается с начала схемы (точки а). Характерным для такой диаграммы является то, что направления векторов на ней совпадают с положительными направлениями напряжений, например вектор U_ab изображается направленным от а к Ь.
Заметив, что алгоритмы построения векторных диаграмм очевидны из рис. 3.2, б — г, укажем, что в дальнейшем векторными диаграммами первого рода мы будем пользоваться при анализе и расчете трехфазных цепей синусоидального тока, второго рода — для однофазных цепей.
Из векторной диаграммы по рис. 3.2, г, например, находим искомые Uac и |/ следующим образом:
Значение Т можно найти из прямоугольного треугольника adc и так:
Вывод: векторы и векторные диаграммы помогают анализировать и рассчитывать электрические цепи синусоидального тока.
