Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Техника arrow ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Посмотреть оригинал

Тригонометрический способ анализа и расчета цепей синусоидального тока

Сущность способа заключается в следующем. Строятся качественные векторные диаграммы цепей на числовой плоскости, в результате чего образуются прямоугольные треугольники из электрических величин (напряжений, токов, сопротивлений, проводимостей, мощностей), в процессе решений которых (треугольников) выводятся аналитические соотношения между ними. Таким образом, тригонометрический способ является графоаналитическим способом анализа и расчета цепей. Чтобы воспользоваться этим способом, нужно ввести некоторые понятия и определения. Их удобно ввести при анализе элементарных цепей, рассмотренных ниже.

Элементарные цепи синусоидального тока

Элементарными цепями будем называть цепи, состоящие из одного источника питания и одного пассивного элемента (параметра) г, или L, или С. Рассмотрим такие цепи.

Элементарная цепь с г (рис. 3.3, а). Пусть через активное сопротивление г проходит ток i = Imsin со/. Требуется определить значения напряжения и мощности.

Воспользовавшись законом Ома, запишем падение напряжения на г: иг = п = rlmsin со/;, где rlm имеет смысл амплитуды напряжения ип т.е. Urm =

= г1пг

Рис. 3.3

Разделив левую и правую части полученного равенства на V2, получим действующее значение напряжения на г, т.е.

Выражение (3-4) показывает, что в рассматриваемой цепи Ur г и I связаны между собой законом Ома.

С учетом формулы (3-4)

Сравнив значения i и ип можно заметить, что их начальные фазы одинаковы, поэтому

Формула (3-6) показывает, что в элементарной цепи с активным сопротивлением г напряжение и ток совпадают по фазе, что иллюстрируется временными и векторной диаграммами на рис. 3.3, б, в.

Мгновенная мощность, отдаваемая источником электропитания в цепь, равна

или

Уравнение (3-7) показывает, что в элементарной цепи с /'мгновенная мощность изменяется по косинусоиде двойной частоты относительно оси, отстоящей от 0 - со? на величину UrI, что иллюстрируется рис. 3.3, б. При этомрг всегда положительна. Последнее объясняется тем, что /'активно (безвозвратно) поглощает электроэнергию, преобразуя ее в тепло согласно закону Джоуля — Ленца. Поэтому г называется активным сопротивлением и, как следствие, ur = иа> Ur = Ua, pr = ра называются соответственно активными напряжением и мощностью.

Средняя мощность, забираемая гот источника электропитания, за время Г, очевидно, будет равна

Эта мощность равна максимальной и называется активной мощностью.

С учетом (3-4) выражение (3-8) можно записать и так:

Элементарная цепь с L (рис. 3.4, а). Пусть через индуктивность проходит ток i = Imsin со?. Требуется определить значения напряжения, сопротивления и мощности.

Рис. 3.4

Очевидно, что i вызовет в L ЭДС самоиндукции, равную по величине и противоположную по знаку приложенному к ней напряжению uL = -eL. Учитывая, что eL = -Ldi / dt, a uL = Ldi / dt, и подставив в последнее значение z, будем иметь

где от по смыслу есть амплитуда uL, т.е.

где соL [Гн/с = Ом] по смыслу есть сопротивление. Оно обозначается XL и называется реактивным сопротивлением индуктивности или индуктивным сопротивлением. Тогда

Сопротивление XL отражает факт противодействия ЭДС самоиндукции изменению тока в цепи. Поэтому оно не равнозначно активному сопротивлению г, а является лишь его аналогом.

С учетом (3-9) формула для UL перепишется так:

Выражение (3-10) показывает, что в элементарной цепи с L действующие значения напряжения и тока связаны соотношением, подобным закону Ома. С учетом (3-10):

Сравнив значения i и uL, можно заметить, что в элементарной цени с L напряжение опережает ток на л / 2 = 90° или ток отстает от напряжения на те же л / 2 = 90° (рис. 3.4, б, в), т.е.

Мгновенная мощность, отдаваемая в цепь с индуктивностью L, очевидно, запишется так:

или

т.е. pL изменяется по синусоиде с двойной частотой относительно оси 0 — оэ? с амплитудой ULIy что иллюстрируется рис. 3.4, б. При этом pL в нечетные четверти периода Т принимает положительные, в четные — отрицательные значения, равные по абсолютной величине друг другу. Это объясняется тем, что электроэнергия от источника электропитания поступает в индуктивность L в течение нечетных четвертей периода (знаки при uL и i одинаковые) и возвращается источнику в течение четных четвертей периода (знаки при uL и i разные). Таким образом, в цепи с L происходит постоянный обмен энергией между источником и индуктивностью с двойной частотой. Другими словами, индуктивность L является временным накопителем энергии источника, а не поглотителем ее, как г. Энергию, запасающуюся в L, называют реактивной энергией индуктивности.

Активная мощность в цепи с L равна нулю, что подтверждает следующее выражение:

Максимальная мощность, временно запасающаяся в L, называется реактивной мощностью индуктивности и равна

С учетом (3-10) выражение (3-14) можно записать и так:

Элементарная цепь с С (рис. 3.5, а). Пусть по цепи рис. 3.5, а протекает ток i = Imsin о)?. Требуется определить напряжение, сопротивление и мощность.

Рис. 3.5

Наличие тока i в цепи с С объясняется тем, что под действием напряжения ис обкладки конденсатора периодически перезаряжаются зарядом q = Сис, что равносильно прохождению по нему тока i-dq/dt- Cduc/dt,

откуда Подставив в последнее выражение i, получим:

где по смыслу есть амплитуда ис, т.е.

В последнем выражении 1 / соС [с/Ф = Ом] по смыслу есть сопротивление, которое называется реактивным сопротивлением емкости или емкостным сопротивлением,

Величина Хс отражает в расчетах противодействие заряженного конденсатора току и не является сопротивлением в смысле г.

С учетом (3-15):

которое показывает, что в цепи с С действующие значения напряжения и тока связаны соотношением, подобным закону Ома. С учетом (3-16)

Сравнив значения г и ис, можно заметить, что в цепи с С напряжение отстает от тока на л / 2 = 90° или ток опережает напряжение на те же л / 2 = 90° (рис. 3.5, б и в), т.е.

Мгновенная мощность в цепи с С, очевидно, запишется так:

или

т.е.рс изменяется по синусоиде с двойной частотой относительно оси 0 — cot с амплитудой UJ, что иллюстрируется рис. 3.5, 6. При этом рс в нечетные четверти периода Т принимает отрицательные, в четные — положительные значения, равные по абсолютной величине друг другу. Это объясняется тем, что электроэнергия от источника электропитания поступает в емкость С в течение четных четвертей периода (знаки при ис и i одинаковые) и возвращается источнику в течение нечетных четвертей периода (знаки при ис и i разные). Таким образом, в цени с С происходит постоянный обмен энергией между источником и емкостью с двойной частотой. Другими словами, емкость С является временным накопителем энергии источника, а не поглотителем ее, как г. Энергию, запасающуюся в С, называют реактивной энергией емкости.

Активная мощность в цепи с С равна нулю, что подтверждает следующее выражение:

Максимальная мощность, временно запасающаяся в С, называется реактивной мощностью емкости и равна

Сравнив цепи с L и С, нетрудно заметить, что направления энергии в них всегда противоположны.

С учетом (3-16) выражение (3-20) можно записать и так:

Для удобства использования на практике основные математические соотношения между электрическими величинами элементарных цепей сведены в табл. 3.1. При этом, если в тексте за исходную брали ток i = Imsin и в цени с г напряжение совпадало с ним (|/м = 0), в цепи с L оно опережало его (|/м = +тт / 2), в цепи с С — отставало от него (|fu = -л / 2), то в табл. 3.1 за исходную взято напряжение и = f//wsin(co? + |/м), поэтому в цепи с г ток совпадает с ним (j/, = j/w), в цепи L — отстает от него (|/у - л / 2), в цепи с С — опережает его (|/, + л / 2).

Вопросы для самопроверки

  • 1. В элементарной цепи с г.
  • а) как связаны математически Ur /, г и каков сдвиг фаз между напряжением и током;
  • б) как меняется мгновенное значение р;
  • в) чему равна максимальна (активная) мощность?
  • 2. В элементарной цени с L:
    • а) чему равно индуктивное сопротивление и каков его физический смысл;
    • б) как связаны математически UL, /, XL и каков сдвиг фаз между напряжением и током;

Основные соотношения для анализа и расчета элементарных цепей

Таблица 3.1

Элемент цепи

Общие формулы

Мгновенные значения напряжения и тока

Сопротивления, формулы

  • в) как меняется мгновенное значение pL
  • г) чему равна максимальна (реактивная) мощность?
  • 3. В элементарной цепи с С:
    • а) чему равно емкостное сопротивление и каков его физический смысл;
    • б) как связаны математически U0 I, Хс и каков сдвиг фаз между напряжением и током;
    • в) как меняется мгновенное значение рс
    • г) чему равна максимальна (реактивная) мощность?

Решенные задачи

Задача 3.3. Чему равны проводимость, ток и мощность в элементарной цепи с ; = 4 Ом, если к цепи приложено напряжение U = 220 В?

Решение

g = 1 / г= 1 / 4 = 0,25 См, / = U/r= Ug= 220 / 4 = 220 • 0,25 = 55 А, Р= UI = Pr = = P/g = lPg= U2 / г— 220 ? 55 = 552 • 4 = 552 / 0,25 = 2202 • 0,25 = 2202/ 4 = 12 100 Вт = = 12,1 кВт.

Задача 3.4. Чему равны проводимость, ток, активная и реактивная мощности в элементарной цепи с L = 5 мГ, если к цепи приложено напряжение U= 120 В с частотой изменения /= 60 Гц?

Решение

XL = (об = 2n/L = 2л • 60 • 5 • КН « 1,9 Ом, bL = 1 / Xj = 1 / 1,9 - 0,53 См, 1= U/XL = = UbL = 120 / 1,9 = 120 • 0,53 ~ 64 A, P = 0, Q, = UI=PXL = lPbL = IP / XL = P / bL = = 120 -64 = 642 • 1,9 = 1202 • 0,53 = 1202/ 1,9 = 642 / 0,53 = 7680 BAp.

Задача 3.5. Чему равны проводимость, ток, активная и реактивная мощности в элементарной цепи с С = 2 мкФ, если к цепи приложено напряжение U = 115 В с частотой изменения/= 60 Гц?

Решение

Хс=1/ юС=1 / 2тт/С= 1 / 2л • 60 • 2 ? 10 6 - 1,3 Ом, bc= 1 с= 1 / 1,3 - 0,77 См, I = = U/Хс= Ubc= 115/ 1,3 = 115 • 0,77 ~ 88 A,P=0, QC=UI = PXL = lPbL = IP/XL = = /2/6^= 115 • 88 = 882 • 1,3= 1152 0,77 = 1152/ 1,3 = 882/ 0,77 = 10120 «10,12 кВАр.

Задачи, требующие решения

Задача 3.6. Чему равны сопротивление, ток и мощность в элементарной цепи cg = 0,5 См, если к цепи приложено напряжение U= 110 В?

Задача 3.7. Чему равны проводимость, напряжение, активная и реактивная мощности в элементарной цени с С= 5 мкФ, если по цени протекает 1= 10 А с частотой изменения/= 60 Гц?

Задача 3.8. Чему равны проводимость, ток, активная и реактивная мощности в элементарной цепи с L = 2 мкФ, если к цепи приложено напряжение U = 115 В с частотой изменения /= 60 Гц?

Задача 3.9. С какой частотой меняется мгновенная мощность в цепи с г и чему равны реактивные мощности индуктивности и емкости?

Задача 3.10. С какими частотами меняются реактивные мощности в элементарных цепях с С и L и каковы взаимонанравления энергий в цепях с L и 67

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 
Популярные страницы