Цепи синусоидального тока с одним источником питания

Последовательная цепь с г, L, С. По цепи (рис. 3.6, а, ключи К1 и К2 разомкнуты), параметры которой известны, протекает ток i = I_msin соt. Требуется найти напряжения, сопротивления и мощности.

Указанный ток вызовет в г, L и С падения напряжений:

Рис. 3.6

Второе правило Кирхгофа для мгновенных значений напряжений цепи, очевидно, запишется так:

Подставив в (3.21) значения напряжений и произведя соответствующие преобразования, получим

где неизвестны действующее значение напряжения U и его начальная фаза |/. Определим их следующим образом.

Перепишем (3-21) в векторной форме, используя действующие значения напряжений:

где U_r = rl U_L = X_LI, U_c = X_cI,X_l = uL,X_c= 1 /соС.

Построим векторную диаграмму цепи согласно (3-22), считая U__L >U_c• Для этого отложим общий для всех элементов цепи вектор тока / горизонтально и относительно него отложим векторы: U__r, совпадающий с /; U__L, опережающий / на 90° и U_c, отстающий от / на 90°; соединив начало вектора U__r с концом Ц__с получим результирующий вектор U_ (рис. 3.6, б).

Как очевидно из рис. 3.6, б, модуль вектора U_ или общее напряжение цепи U найдется как геометрическая сумма напряжений на элементах цепи, т.е.

Разделив (3-23) на ток /, получим:

Умножив (3-23) на / или (3-24) на I², будем иметь

В формулах (3-23) — (3-25) U_y Z, и S называются полными напряжением, сопротивлением и мощностью цепи; U_r = U_a> г и Р — активными составляющими полных напряжения, сопротивления и мощности; U_p = U_L - U₀ Х_р = = X = XjХ_с и Q_p = Q = QjQ_c — реактивными составляющими полных напряжения, сопротивления и мощности; г, X_L = со L, Х_с = 1 / со С — активным, индуктивным, емкостным сопротивлениями.

Для облегчения запоминания формул (3-23) — (3-25) на рис. 3.6, б построены треугольники сопротивлений, напряжений и мощностей, стороны которых — нс векторные, а скалярные величины. При этом масштабы сопротивлений взяты меньше масштабов напряжений, мощностей - больше. Из этих треугольников очевидно:

Выражения (3-28) — (3-30) показывают, что в последовательной цепи с г, L, С активные составляющие напряжения, сопротивления и мощности находятся путем умножения их полных значений на cos ср, а реактивные — на sin ср.

Рис. 3.7 Рис. 3.8

С учетом приведенного рассмотрим два частных случая:

1) если в цепи по рис. 3.6, а замкнуть ключ К2, оставив К1 разомкнутым, то она преобразуется в цепь с г и L (рис. 3.7, а), векторная диаграмма которой выглядит, как показано на рис. 3.7, б. Для такой цепи в (3-22)— (3-25) будут отсутствовать U_c, Хо Q_c. Тогда они перепишутся так:

Что касается (3-26)—(3-30), то они сохранятся, но вместо U_p, X и Q в них следует подставлять U_L, X_L и Q_L;

2) если в цепи по рис. 3.6, а замкнуть ключ К1, оставив К2 разомкнутым, то она преобразуется в цепь с г и С (рис. 3.8, а), векторная диаграмма которой выглядит, как показано на рис. 3.8, б. Для такой цепи в (3-22)— (3-25) будут отсутствовать U_L, X_L, Q_L. Тогда они перепишутся следующим образом:

Что касается (3-26)—(3-30), то они сохранятся, но вместо U_p, X и Q в них следует подставлять U₀ Х_с и Q_c.

В векторных диаграммах по рис. 3.7, б и 3.8, б выделены треугольники сопротивлений и мощностей. При этом на рис. 3.7, б масштабы сопротивлений взяты меньше масштабов напряжений, масштабы мощностей — больше; на рис. 3.8, б масштабы сопротивлений и мощностей взяты меньшими масштабов напряжений.

Из рассмотренного нетрудно установить, что цепь с последовательным соединением многих пассивных элементов (рис. 3.6, в), можно свести к цепи по рис. 3.6, а с активным, индуктивным и емкостным сопротивлениями, напряжениями, и мощностями. При этом

что иллюстрируется векторной диаграммой, приведенной на рис. 3.6, г. Сначала разделив, а затем умножив все члены полученных равенств на ток /, будем иметь

Вывод: общие активные и реактивные напряжения, сопротивления и мощности неразветвленной цепи равны суммам активных и реактивных напряжений, сопротивлений и мощностей соответствующих элементов цепи.

Параллельная цепь с г, L и С. Наряду с цепями, где г, I, С соединены последовательно, встречаются цепи, где они соединены параллельно и смешанно. В таких цепях пользуются понятиями полных токов, проводимостей, мощностей ветвей и цепей.

Проанализируем параллельную цепь но рис. 3.9, а.

Рис. 3.9

Положим, что к цепи по рис. 3.9, а, параметры которой известны, приложено напряжение и = U_ms соt Требуется найти токи, проводимости и мощности.

Решение

Первое правило Кирхгофа для мгновенных значений токов цепи, очевидно, запишется так:

Поскольку цепь линейная, то значение общего i тока будет меняться так же, как и напряжение и, т.е.

В выражении (3-33) неизвестны действующее значение общего тока цепи I и начальная фаза ср или угол сдвига между напряжением и и i. Найдем их следующим образом.

Запишем (3-33) в векторной форме, используя действующие значения токов:

где

В (3-35):

- проводимости ветвей 1, 2, 3: активная g, индуктивная Ь_ь емкостная Ъ_с.

Для определения других электрических величин построим векторную диаграмму цени. Для этого отложим общий для всех ветвей вектор напряжения U_ горизонтально и относительно него векторы токов: активного

совпадающего с U_, индуктивного /_L, отстающего от U_ на 90°, и емкостного 1_Су опережающего U_ на 90°. Соединив начало с концом 1__с, получим результирующий вектор / (рис. 3.9, б).

Выделим из векторной диаграммы треугольник okh (рис. 3.9, б, в) со сторонами, равными действующим значениям токов: активного 1_п реактивного I_p = I_L- 1_С (разность между индуктивным I_L и емкостным 1_С токами), общего или полного I. Из этого треугольника токов очевидна математическая связь между токами:

Разделим все стороны треугольника токов okh на напряжение U> в результате получим треугольник проводимостей ok'h' со сторонами

В формуле (3-38) Y — полная проводимость цепи. С учетом выражений (3-35) - (3-37):

Умножив стороны треугольника токов okh (рис. 3.9, в) на напряжение U или треугольника проводимостей ok'h' — на IP, получим треугольник мощностей ok"h" со сторонами

Из треугольника мощностей имеем

Из треугольников токов, проводимостей и мощностей также очевидны следующие важные соотношения: ф = arccos I_rf1= arccos g / Y = arccos P / S, cosq> = 1_Г/1 = g/ Y=P/S;sin(p = I_p/1 = b_p/ Y=Q_p/S;tgq) = I_p/I_r= b_p/g = = Q_P / ^p> откуда

Словом, из треугольников токов, проводимостей и мощностей можно извлечь много важных формул и соотношений.

Смешанная цепь с г, L и С. Смешанные цепи анализируются и рассчитываются, используя последовательные и параллельные цепи. Покажем это на следующем качественном примере. Требуется проанализировать цепь по рис. 3.10, а.

Рис. 3.10

Анализ начнем с построения качественной векторной диаграммы (рис. 3.10, б), откуда, как и раньше, извлечем важные соотношения и формулы. Она строилась, начиная с конца схемы, гак. Отложили вектор напряжения U₂₃ (общий для параллельных ветвей 2 и 3). Относительно него отложили вектор тока /₃, опережающий его на угол ф₃ (чтобы не затемнять чертеж, его нет на рис. 3.10, б), поскольку ветвь носит активно-емкостный характер. Относительно вектора U_₂₃ отложили вектор тока /₂, отстающий от него на угол ф₂ (нет на рис. 3.10, б), поскольку ветвь носит активноиндуктивный характер. Сложив векторы /₃ и /₂ (векторно), получили вектор тока /j. Прибавив к вектору U_₂₃ ^вект°р падения напряжения на г_х - 1_хг_х(он проведен с конца U_₂₃ параллельно 1_Ь поскольку падает на активном сопротивлении), получим вектор общего напряжения Ц_.

Векторы тока Ц и U_ являются активными, поскольку ток протекает, а напряжение приложено (падает) к активному сопротивлению г_х. Что касается других векторов токов (или напряжений), они состоят из активных и реактивных (индуктивных и емкостных) составляющих. Для примера на рис. 3.10, 6 показано, что векторы токов /₂ ^и 1з состоят из сумм векторов /_2г + /₂₁ и /_Зг + /_зс соответственно. При этом активные составляющие 1_2г ^и —Зг2 совпадают с {У₂₃, а реактивные опережают (/_зс) и отстают (/_2?) от него на 90°.

Поскольку ветви 2 и 3 схемы по рис. 3.10, а состоят из последовательных цепочек г₂ и x_L и г₃ и х_с соответственно, то их полные сопротивления можно записать так:

Из векторной диаграммы по рис. 3.10, 6 (треугольников токов со сторонами с учетом значений z, cos ср,

sin ф и закона Ома запишем следующие соотношения:

Из этих выражений несложно понять, что величины имеют размерности проводимостей, причем

где g*₂, ёз ~ активные; Ь₂, Ь₃ — реактивные проводимости ветвей 2 и 3 схемы по рис. 3.10, б.

Пользуясь векторной диаграммой и предыдущими выражениями, можно записать следующие соотношения:

где

— полные проводимости ветвей 2 и 3 соответственно.

Из векторной диаграммы по рис. 3.10, б с учетом значений активных и реактивных составляющих токов ветвей 2 и 3 можно вывести следующие соотношения:

где

— активная и реактивная проводимости объединенных ветвей 2 и 3 ПО рИС. 3.11,67.

Ив рассмотренного можно сделать вывод: чтобы объединить параллельные ветви 2 и 3 на рис. 3.10, а, нужно сначала рассчитать отдельно активные и реактивные проводимости этих ветвей по (3-42) и сложить полученные проводимости согласно (3-47). В результате получим схему, показанную на рис. 3.10, в.

Из векторной диаграммы и рис. 3.10, б очевидно, что где

— полная проводимость объединенных ветвей 2 и 3.

Умножив выражение (3-48) на U₂3 или (3-49) на t/|₃, получим полную мощность объединенных ветвей 2 и 3:

где

— активная и реактивная составляющие полной мощности.

Нетрудно представить себе, что по (3-48) — (3-50) можно составить треугольники токов, проводимостей и мощностей объединенных ветвей 2, 3, из которых можно извлечь: /_Я23 = /₂₃coscp₂3,1_Р23 = /₂₃sin(p₂₃; g₂₃ = y₂₃cos ф₂₃, />2з = K₂₃sin(p₂₃; Р₂₃ = 5₂₃cos(p₂₃, Q₂₃ = J?₂₃sin Ф₂₃ и другие полезные соотношения.

Из рассмотренного сделаем несколько общих выводов.

А. Если в цепях синусоидального тока, состоящих из параллельных ветвей, содержащих последовательно соединенные активные и реактивные элементы, полные проводимости и сопротивления ветвей связаны между собой так же, как в цепях постоянного тока, т.е. Y = 1 / Z (см. (3-49)), то активные и реактивные проводимости этих ветвей связаны более сложными соотношениями, а именно: (см. (3-42)).

Лишь в частном случае, когда параллельные ветви состоят только из г, x_L, х_с,

их проводимости где

Б. При объединении параллельных ветвей цепей синусоидального тока общие активная и реактивная проводимости находятся путем арифметического и алгебраического сложения соответственно активных и реактивных проводимостей ветвей; полные проводимости параллельных ветвей определяются путем геометрического сложения их активных и реактивных проводимостей, а полная проводимость объединенных ветвей — путем геометрического сложения их активных и реактивных проводимостей.

В. В последовательных и параллельных цепях синусоидального тока с активными и реактивными элементами полные мощности рассчитываются по аналогичным формулам (см. формулу (3-50)). Что касается активных и реактивных составляющих полной мощности, расчет проводится иначе, а именно:

В заключение рассмотрим алгоритм преобразования схемы по рис. 3.10, в в схему по рис. 3.10, г.

1. Ив формулы (3-49) находим Z₂₃ = 1 / ^23-
2. Определяем r₂₃ = Z₂₃cos(p₂₃.
3. Определяем /?₂₃ = y₂₃sin(p₂₃.
4. Находим г = i + г₂₃.
5. Находим Ъ - 0 + 6₂₃ = &₂₃.