Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Техника arrow ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Посмотреть оригинал

ОДНОФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА. СИМВОЛИЧЕСКИЙ СПОСОБ ИХ АНАЛИЗА И РАСЧЕТА

Символический, или комплексный способ анализа и расчета цепей синусоидального тока является аналитическим развитием тригонометрического способа путем записи электрических величин и параметров цепей комплексными числами. Достоинством этого способа, по сравнению с тригонометрическим, является то, что расчет ведется аналитическим способом, а векторы и векторные диаграммы являются лишь вспомогательными компонентами. Кроме того, он позволяет анализировать и рассчитывать сложные цепи синусоидального тока аналогично цепям постоянного тока. Поэтому этот способ, разработанный в 1892 г. американским инженером- электротехником и профессором Ч. Штейнмецем (1865—1923), нашел в электротехнике самое широкое распространение.

Чтобы пользоваться символическим способом, нужно сначала научиться изображать (записывать) мгновенные электрические величины — оригиналы и параметры цепи в комплексной форме, которые показаны в параграфах 4.1—4.3.

Электрические величины на комплексной плоскости

Как указывалось в параграфе 3.2, синусоидальную (гармоническую) электрическую величину — оригинал, например ток i = Im sin(eo? ± j/) = = 421 sin(o)t ± |/), можно представить в виде радиус-вектора /,„ (или L = 1„, /42), «расположенного» первоначально на комплексной плоскости под углом ±|/, отсчитанным от вещественной оси в направлении против хода часовой стрелки, если -ну (рис. 4.1), и — по ходу (на рис. 4.1), и вращающимся с угловой частотой (скоростью) со = 2л/ (см. рис. 4.1).

Тогда, с учетом рис. 4.1, можно записать оригинал и изображение тока так

или

Изображения вектора тока/ш, записанные в видах (4-1) и (4-2), называются соответственно алгебраической и тригонометрической формами комплекса. С учетом известной формулы Эйлера[1] е±1а = cosa± jsin а их можно записать в третьей, показательной, форме:

Рис. 4.1

В (4-3) регистрирует факт вращения вектора 1_т относительно начала осей координат против хода часовой стрелки со скоростью (частотой) о), «проходя» в любой момент времени t «путь», равный соt (рис. 4.1). Поэтому называется оператором вращения. При расчетах цепей его опускают (расчеты ведутся при t = 0). Его учитывают при переходе от комплексных изображений электрических величин к оригиналам.

В (4-1) e^v показывает, что вектор 1_т начинает свое вращение против хода (или по) часовой стрелки с положения, отстоящего от вещественной оси на угол ±ц/, т.е. вектор первоначально повернут на угол ±|/ относительно вещественной оси. Поэтому eJv называется оператором поворота. Его учитывают при расчетах цепей.

С учетом введенных понятий комплексные изображения электрических величин е = Ет sin(cot + |/Д и = Um sin(a)? - |/w), i = Im sinco^ временные диаграммы которых изображены на рис. 3.1, в трех формах запишутся так:

Иногда приходится электрические величины, записанные в дифференциальной и интегральной формах, изображать в комплексных формах. Например:

Опустив в полученных выражениях оператор вращения e±J(0t9 будем иметь

Формула (4-4) показывает, что оригинал дифференцирования электрической величины заменяется векторным изображением (комплексным числом), умноженным наj(0, а интегрирования — делением наусо.

Как очевидно из рис. 4.1, модуль вектора 1_т есть отрезок, соединяющий начало осей координат 0 с точкой М с координатами /', = Im cosy и I" = = Im sin у, т.е. выражения «радиус-вектор на комплексной плоскости», или «комплексное число», или просто «комплекс» практически равнозначны.

Из рис. 4.1 также очевидно, что модуль радиус-вектора и начальную фазу, например 1т и у, можно найти, если известна, например, алгебраическая форма записи комплексного числа:

В (4-5) Гт = Im cosy — вещественная часть (составляющая) комплексного числа, обозначается через Relrn (Re — сокращенная запись английского слова real французского reel и немецкого real соответствующие русским словам — «реальный», «действительный», «вещественный»); /" = Im sin у — мнимая часть комплексного числа, обозначается через 1т/,„ (1т — сокращенная запись английского слова imaginary, французского imaginare и немецкого imaginary соответствующие русскому слову «мнимый»).

Итак, синусоидальные электрические величины е, иу i — оригиналы, можно изображать в виде комплексных чисел или радиус-векторов на комплексной плоскости Ет = V2?, U_m = у[2Ц, I_m = V2/ соответственно. Если же известны изображения синусоидальных электрических величин Ет, U_m, /ш, то их оригиналы находятся как ImЕ_т, ImU_w Im/W.

Приведем некоторые полезные математические справки.

  • 1. Два комплекса равны, если равны порознь вещественные и мнимые части и знаки между этими частями одинаковы, например а ± jb = с ± jd, если а = с и b = d.
  • 2. Два комплекса являются сопряженными, если их вещественные части равны, а мнимые тоже равны, но с противоположными знаками, например комплексу а± jb сопряжен комплекс а + jb и наоборот.
  • 3. Произведение двух сопряженных комплексов равно квадрату модуля. Так, если М = 4а12, то (a±jb)(a + jb) = а2 + Ь2 = М2. Доказательство: (iа ± jb)(a + jb) = а2 ± jab + jab + b2 = а2 + b2 = М2.
  • 4. = ±j. Доказательство: = cos 90° ± j sin 90° = 0 ±j = ±j.
  • 5. Умножение вектора на 6?W2 или на ±j соответствует повороту его на ±тт / 2 относительно вещественной оси, поскольку eW2 = ± j.

Вопросы для самопроверки

  • 1. Как изображаются и записываются синусоидальные электрические величины- оригиналы в комплексной форме?
  • 2. Чем заменяются оригиналы дифференцирования и интегрирования электрических величин?

Задача 4.1. Записать комплексные изображения мгновенных значений ЭДС е = = 282sin (со/ - л / 6), напряжения и = 141 sin соГ и тока i = sin(coP+ 40°) для амплитудных и действующих значений в трех формах.

Решение

е^Ет = 282e->/6= 282cosл/6-;282sinл/6 = 282 • 0,87-;282 • 0,5 = (245->141) В, е -> Е = 282e JV6/42 = 200cos л/6->200 sin л /6 = 200 • 0,87 ->200 0,5 = (174 ->100) В; иУ_теР = 141 В, и -> U = 141 /у/2 = 100 В; i ->= <г>40 = cos40°-j sin40° = (0,77 - -у'0,64) А,/->/= е->40 / >/2= 0,71 cos40° ->0,71 sin 40° = 0,71 ? 0,77 ->0,71 • 0,64 = = (0,55 - >10,45) А.

Задача 4.2. Записать комплексы ЭДС Ет = 310f/i0 В, напряжения С/ = (110 —> 191) В и тока / = 1 А в видах мгновенных значений.

Решение

Для перехода от комплексных электрических величин к мгновенным значениям необходимо умножить комплексные амплитуды на е>ш и взять коэффициенты при мнимых частях (Im) от полученных произведений. Поэтому

Задачи, требующие решения

Задача 4.3. Записать мгновенные значения ЭДС е = 70sin ш/, напряжения и = = sin(co? - 20°) и тока i = 5 sin (со/ + 17°) в комплексных видах для амплитудных и действующих значений в трех формах.

Задача 4.4. Записать в показательной форме комплексы токов: 2,82 ±>1,4; 1,42 ± ± 2,82; ->6; 7.

  • [1] Эйлер Леонард (1707—1783) — выдающийся математик, физик, механик, астроном.Родился в Базеле (Швейцария), много лет жил и работал в России.
 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 
Популярные страницы