Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Техника arrow ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Посмотреть оригинал

Методы анализа и расчета переходных процессов

Исследование переходного процесса в любой электрической цепи сводится к составлению и решению системы дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа при заданных начальных условиях состояния цепи. Методов же анализа и расчета переходных процессов несколько, из которых относительно подробно рассматриваются ниже классический и операторный методы.

Классический метод

Сущность классического метода заключается в составлении дифференциальных уравнений цепи по правилам (законам) Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений после коммутации и решении их известными способами относительно искомых, т.е. в отыскании функций, при подстановке которых в дифференциальные уравнения они преобразуются в тождества.

Проиллюстрируем сказанное на следующих характерных качественных примерах.

Пример 7.1

Подключение последовательной цепи R, L под постоянное напряжение

Требуется определить закон изменения тока в цепи по рис. 7.1, б после коммутации (ключ К в положении 1), т.е. после подключения ее на постоянное напряжение U, если до коммутации /(0_) = 0.

Решение

Для такого случая второй закон Кирхгофа запишется так:

С учетом значений uR и uL это уравнение примет дифференциальную форму вида

Выражаясь математическим языком, (7-1) — это обыкновенное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами.

Общий интеграл (неизвестное, искомое) такого уравнения равен сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения. При этом частное решение физически выражает установившийся (принужденный) режим работы цепи, задаваемый источником электроэнергии и вызывающим, например, установившийся ток iVCT. Общее же решение (7-1) получится, если его правую часть приравнять к нулю и учесть начальные условия. Физически это означает работу цени при отсутствии источника электроэнергии, которая называется свободным режимом (свободным от источника питания), вызывающим свободный ток icn. Тогда переходный ток цепи найдется как сумма установившегося и свободного токов:

Составляющие (7-2) находятся следующим образом:

а) если правая часть исходного уравнения (7-1) постоянна (рассматриваемый случай), то установившийся ток будет

б) свободный ток iCB находится из равенства характеристическое уравнение которого имеет вид

Из (7-5) находятся корень р = -R / L и постоянная времени

Из математики известно, что общее решение (7-4) с учетом (7-6), запишется так:

Постоянная интегрирования А находится из (7-7) при начальных условиях: при t = О /(О ) = 0, гсв = А. Подставив значения густ и iCB в (7.2), будем иметь 0 = U / R + A, откуда

С учетом (7-8) формула (7-7) перепишем так: а выражение (7-2) примет вид

Подстановка функции (7-10) в (7-1) превратит его в тождество. Это означает, что найдено выражение для определения искомого переходного тока /.

Напряжение на индуктивности uL = Ldi / dt с учетом (7-9) запишется в виде

Временные диаграммы токов iycT, /св, г и напряжения uL, построенные по (7-3), (7-9), (7-10) и (7-11), изображены на рис. 7.2, а.

Рис. 7.2

Из рассмотренного очевидно, что:

  • • установившийся ток пос тоянен и равен густ = U / R = /;
  • • свободный ток затухает по экспоненте от гсв = -U / R = -I при t = О до 0 при t = оо. Это теоретически, на практике гсв = -0,01/ при t = 4,6т. Поэтому через t = 4,6т переходный процесс считается законченным;
  • • переходный ток возрастает по экспоненте от i = 0 при t = 0 до i = густ = = / при t = °°. Это теоретически, на практике г = 0,99/ при t = 4,6т, т.е. через t = 4,6т переходный процесс практически заканчивается;
  • • одна часть энергии источника питания запасается в магнитном поле индуктивности 3L = 0,5Ы2, другая — преобразуется в тепловую энергию в резисторе Эд = PRt = IP-t / R.

Из приведенного очевидно также, что время протекания переходного процесса зависит от постоянной времени т: чем больше т, тем больше время t протекания переходного процесса, и наоборот. Она может быть найдена графически как подкасательная к кривым токов и напряжений, что иллюстрируется рис. 7.2. Кроме того, из (7-9) очевидно, что при t = т гсв(т) = —I / е ~ -I / 2,72 ~ -0,371. Это означает следующее: постоянная времени т — время, в течение которого свободная составляющая переходного тока уменьшается по абсолютной величине в е ~ 2,72 раза по сравнению с начальным его значением.

Исследование переходного процесса при подключении последовательной цепи R, С под постоянное напряжение аналогично рассмотренному. Поэтому, опустив математические выкладки, которые предлагается произвести читателям, приведем результирующую временную диаграмму (рис. 7.2, б) и прокомментируем се.

Переходный процесс в последовательной цепи R, С, когда она подключается под постоянное напряжение, характеризуется:

  • • зарядом конденсатора С через резистор R. Поэтому напряжение на конденсаторе ис растет по экспоненте с нуля до U за бесконечно долгое время t = °°. Это теоретически, практически — за время t ~ 4,6т, при котором i ~ 0,01/, ис ~ 0,99//;
  • • уменьшением по абсолютной величине свободной составляющей переходного напряжения, как и в предыдущем случае, не- 2,72 раза по сравнению с начальным его значением;
  • • преобразованием энергии источника питания частично в энергию электрического поля конденсатора Эс = 0,5 CU1 и тепловую — в резисторе Эк = 1/4 / R = PtR.

Пример 7.2

Исследование переходного процесса при подключении последовательной цепи г, L под синусоидальное напряжение аналогично примеру 3, в чем предлагается убедиться читателю.

Пример 7.3

Подключение последовательной цепи г, С под синусоидальное напряжение

Требуется определить закон изменения напряжения ис в цепи по рис. 7.1, в после коммутации (ключ К в положении 1), если в момент коммутации и = U,„ sin(o)f + р).

Решение

Составляем для цепи дифференциальное уравнение по второму закону Кирхгофа: Записываем уравнение для переходного напряжения:

Составляющие (7.13) находятся следующим образом: где

где х = гС.

С учетом (7-14) и (715) выражение (7-13) примет вид

С учетом начального условия при t = 0:uc(0_) = uc (0+) = ис = 0, А = -Uc Хс sin(rp - - ф - п / 2) / Z, тогда

Подставив последнее в (7.16), определяем выражение для искомого переходного напряжения:

Переходный ток в цепи будет

где = Um / cos Ф = г / Z, sirup = Хс / Z.

При t = 0 (7-18) дает ис = ис (0_) = ис (0,) = 0, а (7-19) — i = г(0_) = г'(0+) = = U,„ simp / г. Правильность последнего соотношения подтверждается тем, что в момент после подключения цепи по рис. 7.1, б под напряжение Um sin(a)f + р) оно равно U,„ sin р, поскольку t = 0, и конденсатор «закорочен» с (0+) = 0), поэтому цепь словно состоит только из г, вследствие чего i = Um simp / г. Приведенное подтверждает правильность (7-18) и (7-19).

Временные диаграммы переходного напряжения ис для двух случаев изображены на рис. 7.3, который обосновывается следующим образом.

Рис. 73

А. Положим, что в момент коммутации установившееся напряжение проходит через нуль (со/; + |/ - ср - тт / 2) = 0), тогда, согласно (7-17), ис = 0 и в цени сразу

^св

наступает установившийся режим с исс ст= Um sinotf, что иллюстрирует рис. 7.3, а.

Б. Если в момент коммутации |/ — ф = тт / 2 установившееся напряжение максимально и равно Ufn, то, согласно (7-17), ис = -Um, поэтому напряжения будут меняться по рис. 7.3, 6, из которого очевидно, что переходное напряжение ис принимает максимальное значение при cot = л, но не более 2Um.

Пример 7.4

Исследование переходного процесса при подключении последовательной цепи г, С под постоянное напряжение аналогично примеру 1, в чем предлагается убедиться читателям.

Пример 7.5

Подключение последовательной цепи R, L, С под постоянное напряжение

Рис. 7.4

На рис. 7.4 изображены схема подключения R, L, С под постоянное напряжение U (а) и изменения переходных токов i для случаев, когда 5 > ш0, б = о)0 (б), 8 < со0 (в). Требуется определить закон изменения тока в цепи по рис. 7.4, а после подключения ее на постоянное напряжение U (ключ К замкнут), если до коммутации /(()) = 0 и г/ДО) = 0.

Решение

Для такого случая второй закон Кирхгофа запишется так:

Перепишем это уравнение в дифференциальной форме:

Соответствующее ему характеристическое уравнение: корни которого запишутся так:

где б = R / 21; ci)0 = 1 / VlC — резонансная угловая частота.

Переходный ток цепи запишется так:

где густ = 0, поскольку в цепи присутствует емкость С. Тогда

Для нахождения постоянных интегрирования и А2 продифференцируем (7-22):

и найдем начальное значениеобозначим так: di / dt{0}) следующим

образом.

С учетом того, что начальные значения тока /(0) = 0 и напряжения ис(0) = 0, уравнение (7-20) перепишется так:

т.е. di / dt{{)} = U/L.

С учетом того, что /(()) = 0 и di / dt{0} = U / L, (7-22) и (7-22a) при t = 0 перепишутся соответственно так:

Решив совместно полученные уравнения, будем иметь С учетом полученного, (7-22) перепишется в виде

Характер изменения переходного тока i зависит от знака подкоренного значения в выражении (7-21). Поэтому рассмотрим три случая.

1. б > ш0. При этом из (7-21) имеем, что R > 2^/б2 -со(|. Если при этом Ш2> то Р и Рг — отрицательные и действительные числа, кривая eP{t в (7-23) спадает медленнее, чем eP2t. В результате переходный ток i меняется по рис. 7.4, б, т.е. апериодически.

При больших значениях С ее влияние мало и кривая i меняется, как в цепи с R, L (см. рис. 7.2, а)’, при малых значениях L ее влияние значительно и кривая i меняется, как в цепи с R, С (см. рис. 7.2, б).

2. 8 = ш0. При этом из (7-21) имеем, что R = 2yjl /С,р^ =р2 = -R/ 2L = -б. Опустив подробности, констатируем, что кривая тока г аналогична предыдущему случаю. Такой случай считается критическим.

3. 5 < (о0. При этом из (7-21) имеем, что R < 2^/l/C, а переходный процесс будет колебательным. В этом случае корни характеристического уравнения комплексные и сопряженные:

где называется угловой частотой свободных или

собственных колебаний в цепи R, L, С, а Гсв = 2тт / сосвпериодом этих колебаний. Переходный ток в цепи в рассматриваемом случае, согласно (7-23), будет иметь

вид

Полученное выражение показывает, что при подключении R, I, С под постоянное напряжение U, когда 5 < со(), в цени возникают затухающие синусоидальные колебания, причем огибающими кривой тока i служат кривые (см. рис. 7.4, в).

Колебания возникают вследствие периодического преобразования энергии электрического поля в С в энергию магнитного поля в L и обратно, причем эти колебания сопровождаются потерей энергии в R. Чем меньше 5 по сравнению с со0 или больше R, тем медленнее затухает колебательный процесс. При 8 = 0 (идеальный случай) сосв = = со0 колебания не затухают.

О быстроте затухания колебательного процесса судят по величине е87сосв, которая называется декрементом затухания.

Пример 7.6

О переходных процессах в смешанных цепях

Как было сказано выше, в сложной цепи переходный процесс может быть описан несколькими дифференциальными уравнениями, составленными но правилам Кирхгофа. При этом путем подстановки из одних уравнений в другие исключаются отдельные неизвестные с тем, чтобы получилось одно дифференциальное уравнение с одним неизвестным. Его целесообразно получить для тока индуктивности или напряжения на емкости, что облегчит определение постоянных коэффициентов в уравнении для свободного тока или напряжения.

В качестве примера исследуем переходный процесс при подключении смешанной цепи, состоящей из С, /?,, L, R2 по рис. 7.5 (ключ К замкнут), под постоянное напряжение. При этом неизвестным будем считать изменение напряжения на емкости С, поэтому ток в индуктивности поначалу исключим из рассмотрения.

Рис. 7.5

Составим уравнения:

• одно по первому правилу Кирхгофа:

• два — по второму:

Методом подстановки из этих уравнений получим одно, где фигурирует искомое напряжение и0 следующим образом.

Выразив ток I) из (7-25) и подставив в (7-24), получим

Продифференцировав (7-26), будем иметь

Подставив (7-26) и (7-27) в (7-25а), получим после преобразования которого окончательно будем иметь

Из выражения (7-27) находят уравнение для ис, затем — для /, ц и i2 изложенными выше способами. При этом в зависимости от соотношения параметров возможны апериодический и колебательный процессы по отдельности или вместе.

Из рассмотренных простых примеров можно попять, что последовательность анализа и расчета переходных процессов в линейных цепях классическим способом сводится к следующему.

  • 1. Для исходной цени:
    • а) уясняются (уточняются) начальные условия до коммутации;
    • б) после коммутации составляется система неоднородных линейных дифференциальных уравнений для мгновенных значений переходных токов в индуктивности и напряжений на емкости. Как указывалось выше, эта система уравнений методом подстановки преобразуется в одно дифференциальное уравнение с одним неизвестным, которое и решается. После этого ищут и другие неизвестные.
  • 2. Находят частное решение указанного уравнения, соответствующее установившемуся (принужденному) режиму.
  • 3. Находят общее решение уравнения, соответствующее свободному режиму.
  • 4. С учетом начальных условий задачи и установившегося тока (напряжения) определяют постоянные интегрирования уравнений п. 3.
  • 5. Найденные в п. 2 и 3 установившиеся и свободные токи (напряжения) складываются и получают искомые переходные токи (напряжения).

Основные достоинства и недостатки классического способа. Основное достоинство — он «нагляден» в том смысле, что при преобразованиях не теряется физическая картина переходного процесса. Основной недостаток — расчеты усложняются, особенно при рассмотрении разветвленных цепей с дифференциальными уравнениями второго и высшего порядков, что частично иллюстрируется качественными примерами 4 и 5.

Вопросы и задания для самопроверки

  • 1. Что называются установившимися и переходным процессами в электрической цепи?
  • 2. Что называется коммутацией и начальными условиями цепи?
  • 3. Сформулируйте законы коммутации.
  • 4. Какие способы анализа и расчета переходных процессов вы знаете?
  • 5. Какова последовательность анализа и расчета переходных процессов классическим способом?
  • 6. Разберитесь внимательно в качественных примерах 7.1—7.4, приведенных выше.

Решенные задачи

Задача 7.1. В цепи, показанной на рис. 7.6, известно: U = 220 В, R = 100 Ом, С = = 5 мкФ, L = 0,5 Гн. Определить законы изменения тока в цепи и напряжений на R и L, если она подключается к источнику питания замыканием ключа К1 при разомкнутом К2 и замкнутом КЗ.

Рис. 7.6

Решение

Записываем второе правило Кирхгофа для цени в дифференциальной форме:

Ri + Ldi / dt = U.

Далее по схеме решения качественного примера 7.1: i = iVCT + iCB где iyCT = U / R = = 220 / 100 = 2,2 A; Ri + Ldi / dt = 0; RLp + 1= 0, откуда p = -1 / RL, ax = -p = RL = =100 • 0,5 = 50 c.

RiCB + LdiCB / dt = 0, iCB = Ke r/T.

При t = 0 i = 0, iVCT = 2,2 A, iCB = А, тогда 0 = 2,2 + К, откуда К = -2,2 А; гсв = -Ue~cA = = -2,2е~</50 A, a i = iycr + iCB=U/R- Ue~^/R=U( 1 -ег№) / R = 2,2( 1 -e~*/™) A.

uR = Ri = 100 • 2,2( 1 - e~t/™) = 220( 1 - e- B, uL = Ldi /dt = 0,5(0 + 1 / 50)*r50' = = 0,0 le-t/™ B.

Задача 7.2. В цепи на рис. 7.6 известно: U = 220 В, Rx = 100 Ом, R2 = 400 Ом, С = 5 мкФ, L = 0,5 Гн. Определить законы изменения напряжения на конденсаторе и тока в цепи, если она подключается к источнику питания замыканием ключа К1 при замкнутом К2 и разомкнутом КЗ.

Решение

где wycT= U = 220 В.

откуда р = -1 / RC, а т = = RC=100 • 5 • 10-6 = 5 • 10-4 с.

При t = 0 ис = 0, ипр = U = 220 В, ис = К, тогда 0 = U + К, откуда К = -U = -220 А. ис = -№-tA=-220бг'А В, а ис=и™+ исв = U- Ue~‘/'= U( 1 -^Л) = 220(1 -е-20000 В; 1 IIC 990

f = Cduc / dt = UC(0 + -e-^A) = —&#A = f±^e-2000/ = 2,2e-2000^ A. c x RC 100

Задача 7.3. В цепи на рис. 7.6 известно: U - 110 В, R - 500 Ом, С - 100 мкФ, L = 4 Гн. Определить законы изменения тока в цени и напряжения на R, L, С, если она подключается к источнику питания замыканием ключа К1 при разомкнутых ключах К2 и КЗ.

Решение

Составляем дифференциальное уравнение цепи по второму правилу Кирхгофа: где i = Cduc / dt.

С учетом этого уравнение примет вид

переходное напряжение которого найдется как где ис, = U.

Свободный режим в исследуемой цепи будет протекать так же, как в примере 7.5. Объясняется это следующим. После коммутации в цепи на рис. 7.6 (К2 и КЗ разомкнуты) ток i = 0 (согласно первому закону коммутации), a uc=U(согласно второму закону коммутации). Поэтому в свободном режиме (схема свободна от источника питания, т.е. U= 0) в цепи будет протекать процесс, как будто конденсатор, заряженный до напряжения U, разряжается на R и L, причем по апериодическому закону, поскольку в рассматриваемом случае R = 500 > 2-JL/C = л/4 /100 10_G =200 Ом. С учетом вышеописанного позаимствуем из примера 7.5. соотношения для искомых величин:

где

откуда р, = -25, р2 = -100.

С учетом этого:

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 
Популярные страницы