Операторный метод

Операторный метод анализа и расчета переходных процессов заключается в составлении уравнений электрического состояния цепи по законам Ома и Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений и решении их с использованием прямого преобразования Лапласа^[1]. При этом реальная функция времени t, например F(t), именуемая оригиналом, заменяется (преобразуется) другой функцией с комплексным переменным р = а + /ш, например F(p), — изображением, что позволяет заменять операции дифференцирования и интегрирования по времени простыми алгебраическими операциями умножения и деления. В результате решения уравнения получается изображение искомой функции, например f(p), от которой переходят к оригиналу/^) различными способами, частично изложенными ниже. Операторный метод широко применяется в электротехнике, электронике, радиотехнике, теплотехнике, механике, автоматике и т.п. Таким образом, он популярен в инженерной практике.

Однако прежде чем перейти к непосредственному использованию операторного метода, ознакомимся с некоторыми вспомогательными понятиями и операциями.

А. О прямом и обратном преобразованиях Лапласа. При операторном способе изображение F(p) и оригинал F(t) связаны формулой

называющейся прямым преобразованием Лапласа. Соответствие между указанными функциями, как и при комплексном способе, будем записывать так:

Переход от изображения /(р) к оригиналу /(?) осуществляется с помощью формулы обратного преобразования Лапласа

Однако им практически не пользуются в учебной литературе по электротехнике.

Для перехода от изображения /(р) к оригиналу f(t) пользуются: а) формулами соответствия оригиналов изображениям. Часть таких формул приводится ниже, другая в количестве, превышающем 1500, приведена в соответствующих математических справочниках; б) второй теоремой разложения Хевисайда или проще — теоремой разложения, с которой ознакомимся ниже, и др.

Б. Изображения некоторых функций. Рассмотрим переход от оригиналов некоторых функций к изображениям с использованием формулы прямого преобразования Лапласа (7-29).

1. Изображение постоянного числа F(t) = А найдется так:

Таким образом,

Например, изображение тока I = 5 А будет иметь вид 5 / р.

2. Изображения синусоидальных электрических величин:

3. Изображение показательной функции F(t) = е^±м

Таким образом, поэтому

4. Изображение напряжения на конденсаторе. Напряжение на конденсаторе и_с часто записывают в виде Более полной является

запись где указаны напряжения до и после коммутации.

Тогда его изображение будет состоять из изображений постоянной ц_с(0) и интеграла т.е.

5. Изображение напряжения на индуктивности. Напряжение на индуктивности u_L - Ldi / dt по аналогии с изображением напряжения на конденсаторе записывается так:

6. Изображения производной и интеграла (без выводов):
- • изображение первой производной

• изображение второй производной

• изображение интеграла

Приведенные и некоторые другие оригиналы и соответствующие им изображения сведены в табл. 7.1.

Таблица 7.1

№ п/п

Оригинал — изображение

т - f(_P)

№ п/п

Оригинал-изображение Щ) ~ F(p)

№ п/и	Оригинал — изображение т - F(p>	№ п/п	Оригинал-изображение т - F(p)
2		8
3		9
4		10
5		11
6 6а		12

7.3.2.1. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме.

Теорема разложения

Закон Ома в операторной форме. На рис. 7.7 изображена неразветвлен- ная цепь, содержащая ЭДС е и пассивные элементы г, L, С. При замыкании ключа К по цепи пойдет переходный ток i. Уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа, запишется так:

Рис. 7.7

Руководствуясь табл. 7.1, заменим переменные (оригиналы) уравнения (7-30) их изображениями при ненулевых начальных условиях, т.е. когда г(0_) * 0 и М(Д0_) * 0: е —» Е(р), i —> I(p), u_L = Ldi / dt —» Lpl(p) - Li{0), u_c =

Подставив в уравнение (7-30) вместо оригиналов их изображения, на что имеем право вследствие линейности рассматриваемой цепи, получим

откуда

В (7-31) Li(0) и Wc(0) / р называются внутренними ЭДС, обусловленными запасом энергии в магнитном поле индуктивности L и в электрическом поле емкости С соответственно, поэтому обозначим

Кроме того, структура знаменателя (7-31) аналогична структуре комплекса сопротивления цепи, если р заменить на j(d. Поэтому он называется операторным сопротивлением цепи

С учетом (7-32) и (7-33) выражение (7-31) примет вид

что означает: «изображение тока в анализируемой схеме равно отношению суммы изображений ЭДС к сумме изображений сопротивлений». Поэтому оно является аналогом закона Ома, вследствие чего его называют законом Ома в операторной форме для рассматриваемой цепи.

При нулевых начальных условиях, т.е. если z(0_) = 0 и и_(:(0_) = 0, Е_ш(р) = = Ы(0) - и^О) = 0 + 0 = 0, выражение (7-34) примет вид

Правила Кирхгофа в операторной форме. Уравнение токов по первому правилу Кирхгофа для узла а или в цепи по рис. 7.8 (начальные условия не нулевые), как известно, запишется так: i - i_{ - г₂ = 0. Заменив оригиналы токов их изображениями, получим первое правило Кирхгофа в операторной форме для цепи по рис. 7.8:

Рис. 7.8

В общем виде первое правило Кирхгофа в операторной форме запишется так:

Запишем уравнение напряжений по второму правилу Кирхгофа для цепи по рис. 7.8, обходя контур но ходу часовой стрелки. Это уравнение с учетом того, что начальные условия не нулевые, запишется так:

Заменим оригиналы слагаемых уравнения (7-37) их операторными изображениями.

Тогда уравнение (7-37) в изображениях примет вид

Для записи выражения (7-37а) в более лаконичной форме введем следующие обозначения: Z^p) = 1 / Ср, Zy(p) = pLp Z₂{p) -pL₂, Z(p) = R, Е_ш(р) = = u_c(0) /p - L_{i_{(0) + L₂i₂(Q) ^{и c их} У^чет()М перепишем его:

Уравнение (7-38) является вторым правилом Кирхгофа в операторной форме для цени но рис. 7.7.

В общем виде второе правило Кирхгофа в операторной форме выглядит так:

где п — число ЭДС в цени; т — число ветвей в цени.

Теорема разложения. В двух предыдущих примерах найдены изображения искомых величин, но не найдены искомые оригиналы. Одним из способов нахождения оригиналов по их изображениям является, как указывалось выше, использование теоремы разложения. Поэтому рассмотрим ее.

При определенных условиях теорема разложения записывается в виде формулы

где k — число корней р^ т.е. число слагаемых при нахождении оригинала равно числу корней p_k.

Формула (7-40) справедлива, если: а) многочлены F_{(p_k) и F₂(p_k) не имеют общих или кратных корней; б) их коэффициенты являются вещественными числами.

Искомые оригиналы по (7-40) находят в такой последовательности:

1) приравняв знаменатель F₂(p= 0, находят корни p_k
2) определяют первую производную знаменателя F{(p_k)
3) подставляют значения корней/^ в F_x(p_k) и F₂(p_k) и находят оригинал f(t) изображения f(p).
7.3.2.2. Порядок расчета переходных процессов операторным способом

Порядок расчета переходных процессов операторным способом следующий:

1) для исходной цепи составляется система уравнений по правилам Кирхгофа, описывающая процессы, происходящие в цепи после коммутации. При этом учитываются начальные условия;
2) уравнения искомых функций времени, полученные в и. 1, заменяются уравнениями изображений оригиналов. Для опытного расчетчика можно сразу составить уравнения изображений, тогда п. 1 отпадает;
3) решают уравнения, составленные по п. 2, и получают искомые функции или величины в форме изображений;
4) используя теорему разложения, переходят от изображений, полученных в п. 3, к оригиналам.

Проиллюстрируем приведенный алгоритм на следующих качественных примерах.

Пример 7.7

Цепь по рис. 7.9 при нулевых начальных условиях, т.е. /,(0 ) = 0 и м_г(0 ) = 0, подключается ключом К к постоянному напряжению U. Записать изображения токов и сопротивлений, пользуясь законом Ома.

Рис. 7.9

Решение

Запишем токи в символической форме:

Пример 7.8

Цепь на рис. 7.9 при нулевых начальных условиях подключается ключом К к переменной ЭДС е. Определить токи методом контурных токов в операторной форме, если известны ЭДС и элементы цепи.

Решение

1. Запишем второе правило Кирхгофа для контурных токов ц и /ц, произвольно

выбранные направления которых указаны на рис. 7.9:

2. Перепишем уравнения в изображениях:

3. Решив полученную систему уравнений, получим

4. Находим изображения реальных токов в цепи:

Вопросы и задания для самопроверки

1. В чем заключается сущность операторного способа анализа и расчета переходных процессов в электрических цепях? Напишите формулу прямого преобразования Лапласа.
2. Пользуясь формулой прямого преобразования Лапласа, напишите изображения напряжений на емкости и индуктивности.
3. Напишите закон Ома для неразветвленной цепи с г, L, С.
4. Напишите правила Кирхгофа для разветвленной цепи с г, L, С.
5. Какова последовательность анализа и расчета переходных процессов операторным способом?
6. Каким образом находят оригиналы с помощью теоремы разложения?

Решенные задачи

Задача 7.4. В схеме по рис. 7.10, а даны: U= 110 В, R = 20 Ом, L = 5 Гн. Определить законы изменений тока i и напряжения и, после коммутации. Задачу решить с использованием табл. 7.1.

Рис. 7.10

Решение

Изображения напряжения, сопротивления и тока в цепи будут: U(p) = U / р =

В соответствии с табл. 7.1 оригинал тока i- 5(1 - e~^At) А. Напряжение на индуктивности U[ = Ldi / dt = 5 • 4е^-4* = 20e~^4t В.

Задача 7.5. В схеме по рис. 7.10, б ток источника тока нарастает по закону/ = 2,5?, R = 400 Ом, С = 2500 мкФ. Определить закон изменения тока ц после коммутации, а также его величину при t = 0,5 с. Задачу решить, используя табл. 7.1.

Решение

Согласно табл. 7.1 изображение оригинала/= 2,5t —>J(p) = 2,5/р². Изображение искомого тока запишется так:

где

В соответствии с табл. 7.1 оригинал изображения 1(р) будет

При t = 0,5 с ц = 2,5(<г° 5 + 0,5 - 1) - 0,28 А.

Задача 7.6. Цепь но рис. 7.11, а при нулевых начальных условиях подключается ключом К к постоянному напряжению U. Определить законы изменения тока i₂и напряжения на конденсаторе и_с, если известно: U = В, = 50 Ом, R₂ = 60 Ом, С = 100 мкФ. Задачу решить с использованием табл. 7.1 и теоремы разложения.

Рис. 7.11

Решение с использованием табл. 7.1

Решение с использованием теоремы разложения

Вспомним теорему разложения . Из выражения

ясно, что Ь(Рк) = 2,2р + 367, Р₂(р_к) = р(р + 367).

Определяем корни F,(p_k) = р(р + 367) = р¹ + 367р = 0 , откуда р, = 0, р-> = -367.

Законы изменения тока i и напряжения и_с во время переходного процесса в цени по рис. 7.11, рассчитанные с использованием табл. 7.1 и теоремы разложения, совпадают, как и должно быть.

Задача 7.7. Цепь на рис. 7.11, б при нулевых начальных условиях подключается ключом К к постоянному напряжению U. Определить законы изменения тока i и напряжений на R, Lu С, если известны: t/= 110 В, i? = 500 Ом, L = 4 Гн, С =100 мкФ. Задачу решить классическим и операторным (с использованием теоремы разложения) способами.

Решение задачи классическим способом

Решение задачи классическим способом приведено в задаче 7.3. Значения искомых величин, полученных в ней, следующие: и_с = 110[ 1 + 25(е ^10,)' - 4е ²⁵') 1.1 = = 0,37(e-²5t _ е- юо^ _U/ = 37(4_e-ioor _ _e-2r„y _{Ur =} I85(e-^25t- e-¹⁰⁰').

Решение задачи операторным способом с использованием теоремы разложения Запишем изображения напряжения и сопротивления цени: U(p)= НО/p,Z(p) = = R+pL+ /рС = 500 + 4р = 1 /рЮО • 10 ⁶= (Ар² + 500/?+ 10⁴)/р.

Найдем изображение тока:

Из полученного очевидно, что F(p_k) = 27,5; F₂(p_k) = р² + 125р + 2500.

Найдем корни р_к из F₂(p_k) =р² + 125р + 2500 = 0:

Определяем производную Р₂(р_к) = 2р+ 125.

Находим: F_{(p_t) = 27,5, F_{(p₂) = 27,5; F^(p_y) = 2(-25) + 125 = 75, F₂(p_y) = 2(-100) + + 125 = -75.

Определяем ток в цепи:

Находим искомые напряжения: u_R = iR = 0,37(e^_25t - e~^mt) • 500 = 185(25' -

-100') В, u_L = Ldi / dt = 4- 0,37(-25e^-25t + ЮОе ^m) = 37 (4e~'⁰⁰'- _{U c}=^ j idt =
--—- [0,37(e-^25t -e-^m,)dt = 37(e-'^00r - 4e~²⁵>).
100-10-^{6 J}

Ответы, полученные при решении задачи классическим и операторным методами, совпадают, как и должно быть.

Задача 7.8. Цепь по рис. 7.11, б при нулевых начальных условиях подключается ключом К к постоянному напряжению U. Определить законы изменения тока i₂ и напряжения на конденсаторе и_с, если известны: U= 110 В, R_y = 80 Ом, L = 0, R₂ = 500 Ом, С= 1 мкФ. Задачу решить с использованием табл. 7.1 и теоремы разложения.

Решение задачи с использованием табл. 7.1

Запишем изобцажение искомого тока: L(v) = U(v) /Z(v). где U(v) = U / v = 110/r>.

Тогда

Преобразуем I(p) так, чтобы получить изображения, имеющиеся в табл. 7.1:1_У (р) =

Согласно табл. 7.1, последним изображениям соответствуют оригиналы 1,375е^-14и 0,1897(1 - е~^{и 5т}). Это означает, что

Изображение искомого напряжения на конденсаторе:

Оригинал и_с, согласно табл. 7.1, запишется так:

Проверка: при t = 0 в соответствии с формулами (б) и (в) i_A = 0,1897 + 1,1853 = = 1,375, и_с = 0.

В первоначальный момент после коммутации в цепи обкладки конденсатора «замкнулись» между собой, и его сопротивление R_c=0. Поэтому R_c=0 шунтирует R₂

и ток ц(0) ограничивается лишь R_]f т.е. /,(0) = U/ R = 110 / 80 = 1,375. Что касается и_с(0)_у то, с одной стороны, оно равно R_c• ц(0) = 0 • ц(0) = 0, с другой, согласно второму закону коммутации, -Ис(0_) = м^О*) = и_с(0) = 0.

Решение задачи с использованием теоремы разложения

Из выражения (а) имеем:

Из равенства F₂(p_k) = р(0,04р + 580) = 0 находим корни: р_{ = 0, р₂ = -14 500. Определяем производную:

Подставив корни, определяем: F(j>) = 0,055 0+110=110, F^(p₂) = 0,055 • (-14 500) + + 110 = -687,5; F#p_x) = 0,08 • 0 + 580 = 580, F₂'(p₂) = 0,08-(-14 500) + 580 = -580.

По теореме разложения находим искомый ток:

Определяем искомое напряжение на конденсаторе. Из выражения U(p) имеем:

Из равенства F₂(p_k) = р(р + 14 500) = 0 находим корни: р_{ = 0,р₂ = -14 500. Определяем производную:

Подставив корни, определяем: F_x(p_x) = F_{(p₂) = 1 375 000, F₂(p_{) = 2-0+ 14 500 = = 14 500, F{(p₂) = 2 • (-14 500) + 14 500 = -14 500.

По теореме разложения находим искомое напряжение:

При решении задачи с использованием табл. 7.1 и теоремы разложения ответы совпали, как и должно быть.

Классический и операторный методы расчета переходных процессов в линейных цепях являются универсальными, они могут применяться для решения задач любой сложности.

В частных случаях, когда воздействующее на цепь напряжение имеет сложную форму или приходится решать дифференциальные уравнения высоких степеней (например, выше третьей), считается целесообразными применять методы с использованием интеграла Дюамеля или спектральныйкоторые подробно рассматриваются в автоматике и других курсах.

[1] Пьер Симон Лаплас, 1749—1827.