Расчет нелинейных цепей постоянного тока аналитическими методами

Для аналитического расчета нелинейных цепей НЭ должны быть заданы в виде аналитических функций, параметры цепи или их ВАХ заменены аналитическими выражениями, т.е. аппроксимированы. В зависимости от вида аппроксимации различают методы расчета нелинейных цепей: полиномный, линеаризации ВАХ, кусочно-линейной аппроксимации ВАХ, итерационный и др. Рассмотрим относительно подробно первые два из них, вторые — концептуально.

Полиномный метод. В нелинейной электротехнике ВАХ нелинейного элемента цепи обычно аппроксимируется в виде полиномов: степенного, экспоненциального, тригонометрического и др. При этом сначала подбирают подходящую функцию ВАХ нелинейного элемента цепи так, чтобы аппроксимирующая функция описывала бы ее с погрешностью, допустимой для инженерных расчетов; затем находят неизвестные коэффициенты подобранной функции; потом производят расчет.

Рис. 9.3

Покажем, как эго делается, на следующем качественном примере. Положим, что к цепи (рис. 9.3, а), состоящей из линейного и нелинейного резисторов R и R', ВАХ которых изображены на рис. 9.3, б, приложено постоянное напряжение U. Требуется найти ток, напряжения на участках цепи и мощность.

Решение

Положим, что заданную ВАХ R' можно аппроксимировать степенным полиномом вида

Для простоты решения задачи ограничимся первыми двумя членами полинома (9-1), тогда

где аЛ и а2 подобраны (определены) в процессе аппроксимации кривой.

На основании второго закона Кирхгофа для схемы по рис. 9.3, а с учетом (9-2) запишем

откуда

Решение этого уравнения даст значение искомого тока, т.е.

Напряжения на линейном R и нелинейном R' элементах цепи будут

Мощность, потребляемая цепью, найдется так же, как и в линейных цепях, т.е. Р = UI.

Метод линеаризации ВАХ. До обсуждения метода линиаризации ВАХ рассмотрим некоторые понятия и определения по нелинейным сопротивлениям и их схемам замещения.

Различают статические и дифференциальные сопротивления нелинейного элемента (НЭ).

Статическим сопротивлением НЭ, ВАХ которого известна (например, выпуклая кривая 0(3я на рис. 9.4, а), называется отношение постоянного напряжения в любой точке ВАХ (например, а на рис. 9.4, а) к току, протекающему по нему. Применительно к рис. 9.4, а

где тьг, тЛ, mR масштабы t/, I, R.

Рис. 9.4

Дифференциальным сопротивлением НЭ, ВАХ которого известна, в точке (например, а на рис. 9.4, а) называется отношение бесконечно малых приращений напряжения и тока, т.е.

Если НЭ цепи работает в какой-либо точке ВАХ (например, а на рис. 9.4, а) или в узком диапазоне напряжения и тока (например, AU и АГ) вблизи от нее, где соответствующий участок ВАХ близок к прямой (на рис. 9.4, а выделен жирной короткой линией ВАХ), то НЭ можно заменить эквивалентной схемой, состоящей из источника напряжения (или ЭДС) и линейного сопротивления, равного дифференциальному сопротивлению в рабочей точке ВАХ НЭ на рис. 9.4, а).

Если через точку а провести касательную к ВАХ НЭ, совпадающую с выделенным квазилинейным участком (жирный отрезок на рис. 9.4, а), и продолжить его до пересечения с осью [/, то она отсечет отрезок гпцос = U0. С учетом этого уравнение линии ас или напряжения запишется так:

Сущность метода линеаризации ВАХ НЭ заключается в замене заданного НЭ схемой замещения, состоящей из источника ЭДС и линейного дифференциального сопротивления, после чего анализ и расчет нелинейной цени производятся с учетом этой замены, т.е. как линейной цени. С учетом всего сказанного (9-7) можно переписать так:

а линейная схема, отвечающая (9-8), представлена на рис. 9.4, б.

Рассуждая аналогично по отношению к ВАХ НЭ, изображенной на рис. 9.4, в, можно составить уравнение

которому отвечает линейная цепь по рис. 9.4, г.

Нами рассмотрен случай, когда в цени лишь один НЭ. Если их больше, все они заменяются соответствующими линейными схемами замещения, и цепь становится линейной. В качестве примера на рис. 9.5 представлены нелинейная цепь и эквивалентная ей линейная, где R и R{ заменены ветвями /?л и ?01—Лд1.

Рис. 95

Кроме того, при желании НЭ можно заменить эквивалентной схемой, состоящей из источника тока и линейной проводимости, равной дифференциальной в рабочей точке ВАХ НЭ (Сд = 1 / 7?д). Величина же источника токаУ0 отсекается в масштабе от оси I касательными к ВАХ НЭ (см. например, рис. 9.4, в).

О методе кусочно-линейной аппроксимации ВАХ. Метод кусочно- линейной аппроксимации заключается в замене известной ВАХ НЭ ломаной прямой с одной или несколькими точками излома. Такая замена позволяет вести расчет цепей аналитически с помощью линейных уравнений, которыми аппроксимированы ломаные прямые ВАХ. Для прямолинейных участков ВАХ записываются линейные уравнения, решения которых согласовываются: электрические величины конца первого участка приравниваются к соответствующим величинам начала второго, конца второго — к началу третьего и т.н.

Об итерационном методе. Расчет сложных нелинейных цепей итерационным методом или методом последовательных приближений сводится к произвольному заданию искомой величины (например, тока I при заданных напряжении U и ВАХ НЭ) и уточнению ее путем многократного повторения решения задачи с меняющимися значениями этой величины до тех пор, пока числовые значения искомой величины не начнут повторяться. Расчет удобно вести на компьютере с соответствующей программой.

Вопросы и задания для самопроверки

  • 1. Перечислите методы расчета нелинейных цепей постоянного тока.
  • 2. Как рассчитывается последовательная цепь графическим методом?
  • 3. Как рассчитывается параллельная цепь графическим методом?
  • 4. Как рассчитывается смешанная цепь графическим методом?
  • 5. Перечислите аналитические методы расчета нелинейных цепей постоянного тока.
  • 6. Как рассчитываются нелинейные цепи методом полинома?
  • 7. Как рассчитываются нелинейные цепи методом линеаризации ВАХ?
  • 8. В чем сущность расчета нелинейных цепей методами кусочно-линейной аппроксимации ВАХ и итерационным?

Решенная задача

Задача 9.1. В цепи по рис. 9.6 Е = 30 В, R = 20 Ом, ВАХ НЭ1 и НЭ2 соответственно заданы зависимостями Ix= axU + a2U2, где ах = 0,1Л / В; а2 = 0,003Л / В2; I2 = bxU + + b2U2, где b 1 = 0,04Л / В, Ь2 = 0,02Л / В2. Определить напряжения и токи в цепи методом полинома.

Рис. 9.6

Решение

Для схемы по рис. 9.6 запишем

После подстановки значений 1Х и /2 в приведенные равенства и соответствующих преобразований будем иметь: R(a2 + b2)U2 + [R(ax +bx)+ ]U-E=Q, или 0,46/T2 + 3,8/7- - 30 = 0, или /72 + 8,26/7 - 65,2 = 0“

Решение последнего квадратного уравнения: ~ 5 В.

С учетом выражений для токов в параллельных ветвях и {/« 5 В определяем 7t = = 0,575 А, /2 = 0,7 А. Тогда I = /t + /2 = 0,575 + 0,7 = 1,275 A, UR = IR = 1,275 • 20 = 25,5 В.

Проверка: Е = U + IR = U + UR = 5 + 25,5 ~ 30,5 В. Ошибка составляет 1,7%, что вполне допустимо.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >