Глава 4. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Явная разностная схема

Характеристика явкой разностной схемы

Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа с начальным и граничными условиями:

Запишем для уравнения (4.1) явную разностную схему:

Запишем аппроксимацию начального и граничных условий:

Аппроксимация граничных условий (4.3) записана на (л + 1)*м шаге по времени для удобства последующего изложения метода и алгоритма решения явной разностной схемы (4.2).

В разделе 2.3.3 было доказано, что разностная схема (4.2) имеет порядок аппроксимации:

В разделе 3.3 было получено условие устойчивости данной разностной схемы, накладывающее ограничение на выбор интервала деления при создании разностной сетки (или, иначе говоря, ограничение на выбор расчётного шага по одной из независимых переменных):

Отметим, что это, безусловно, является недостатком явной разностной схемы (4.2). В то же время она имеет достаточно простой метод решения.

Метод решения явной разностной схемы

Выразим из разностной схемы (4.2) величину и

л+1

Значения иj для любого j могут быть определены с помощью аппроксимации начального условия (4.3). Если задать п = О, то, пользуясь выражением (4.4), можно определить значения и у, j — 2,..., N — 1. Значения u₉U^XN определяются с помощью аппроксимации граничных условий (4.3). Далее, задаём п = 1 и из выражения (4.4) определяем u²j, j = 2,..., N — 1, а значения и опять же с помощью аппроксимации граничных условий (4.3) и т. д. Таким образом, соотношение (4.4) позволяет рассчитать все значения искомой функции u{t_y х) в узлах разностной сетки, кроме значений, задаваемых с помощью начального и граничных условий. Описанную методику решения явной разностной схемы наглядно характеризует её разностный шаблон (рис. 4.1), на котором л-й шаг по времени следует считать известным, а (л + 1)-й шаг по времени — искомым.

Соотношения типа (4.4), позволяющие рассчитывать значения искомой функции в узлах разностной сетки через известные значения в других (как правило, соседних) узлах разностной сетки, называют рекуррентными соотношениями.

Обратим внимание, что если вместо граничных условий 1-го рода (4.1) будут заданы граничные условия 2-го или 3-го рода, то расчёт значений и"^+|,1#]у несколько усложняется.

Рис. 4.1. Разностный шаблон явной разностной схемы, аппроксимирующей одномерное дифференциальное уравнение параболического типа

Рис. 4.2. Блок-схема решения явной разностной схемы, аппроксимирующей одномерное дифференциальное уравнение параболического типа

Рассмотрим граничные условия 2-го рода:

Запишем их аппроксимацию:

л+1 л + 1

Выразим значения Wj ,u_N :

Рассмотрим граничные условия 3-го рода:

Запишем их аппроксимацию:

Выразим значения и_х ,u_N :

На рис. 4.2 приведён алгоритм (в виде блок-схемы) решения явной разностной схемы (4.2), аппроксимирующей одномерное дифференциальное уравнение параболического типа (4.1).

Авторы: Кольцова Элеонора, Скичко Алексей, Женса Андрей