Разностные схемы, аппроксимирующие дифференциальные уравнения в частных производных 1-го порядка

Для дифференциального уравнения (5.1) введём разностную сетку и рассмотрим аппроксимацию производных в точке (/", ху) . Для аппроксимации производной но времени обычно используется правая конечная разность (со стабилизацией значения независимой переменной х в точке с порядковым номером /):

Для аппроксимации производной по координате х может быть использована как правая конечная разность, так и левая конечная разность; причём стабилизация значения независимой переменной t может быть как на п-м шаге по времени (т.е. в точке t"), так и на (я + 1)-м шаге по времени (т.е. в точке tⁿ⁺¹). Данный выбор позволяет записать для уравнения (5.1) четыре разностные схемы:

1) явная разностная схема с аппроксимацией производной по коор- дипате правой конечной разностью

2) явная разностная схема с аппроксимацией производной по координате левой конечной разностью

3) неявная разностная схема с аппроксимацией производной по координате правой конечной разностью

4) неявная разностная схема с аппроксимацией производной по координате левой конечной разностью

Учитывая порядок аппроксимации разностных операторов, из которых составлены разностные схемы (5.2)-(5.5), легко видеть, что каждая из них имеет первый порядок аппроксимации и по времени, и по координате:

Чтобы выяснить, какие из разностных схем (5.2)-(5.5) лучше всего подходят для численного решения уравнения (5.1), необходимо провести исследование их устойчивости и сравнить методы их решения.

Авторы: Кольцова Элеонора, Скичко Алексей, Женса Андрей