Введение

В природе существует много такого, что не может быть ни достаточно глубоко понято, ни достаточно убедительно доказано, ни достаточно умело и надежно использовано на практике без помощи и вмешательства математики.

Фрэнсис Бэкон

Без знания математики нельзя понять ни основ современной техники, ни того, как ученые изучают природные и социальные явления.

А. Н. Колмогоров

Невозможно представить себе современную науку и технологию без широкого применения математического моделирования. Суть этой методологии состоит в замене исходного объекта его «образом» — математической моделью и дальнейшем изучении модели аналитическими методами или с помощью компьютерного моделирования. Этот метод познания сочетает в себе многие достоинства как теории, так и эксперимента. Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает возможность исследовать его свойства и поведение в различных ситуациях (преимущества теории). В то же время вычислительные (компьютерные) эксперименты с моделями объектов позволяют подробно и глубоко изучать объекты (преимущества эксперимента). Поэтому методология математического моделирования бурно развивается и охватывает все новые сферы — от разработки технических систем и управления ими до анализа сложнейших экономических и социальных процессов.

Различные системы, изучаемые современной наукой, часто не поддаются исследованию с нужной полнотой и точностью обычными теоретическими методами. Прямой натурный эксперимент над ними либо дорог, либо опасен, либо попросту невозможен. Поэтому компьютерное моделирование является важной составляющей научно-технического прогресса. Его можно условно разбить на три этапа: математическая модель — вычислительная модель — программа.

На первом этапе строится «эквивалент» объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства. Математическая модель исследуется теоретическими методами, что позволяет получить предварительные знания об объекте.

Второй этап — выбор (или разработка) вычислительной модели (алгоритма) для реализации математической модели на компьютере. Алгоритм определяет последовательность вычислительных и логических операций, которые нужно произвести, чтобы найти искомые величины с заданной точностью. Вычислительные алгоритмы не должны искажать основные свойства математической модели, должны быть экономичными и адаптирующимися к особенностям решаемых задач и используемых компьютеров.

На третьем этапе создаются программы, «переводящие» модель и алгоритм на доступный компьютеру язык. Их можно назвать «электронным эквивалентом» изучаемого объекта, пригодным для проведения вычислительных экспериментов с помощью «экспериментальной установки» компьютера.

Создав такую «экспериментальную установку», исследователь получает в руки универсальный, гибкий и недорогой инструмент, который вначале отлаживается и тестируется. После этого с моделью проводятся разнообразные опыты, из которых можно определить требуемые качественные и количественные свойства и характеристики объекта. В процессе моделирования все звенья вычислительного эксперимента могут улучшаться и уточняться по мере необходимости.

В данной книге мы рассмотрим первый этап компьютерного моделирования — построение математических моделей. Нам представляется полезным появление книги, в которой бы рассматривались основные идеи построения математических моделей. Несмотря на то что создание любой новой модели есть творческий процесс, существуют общие подходы, методы, инструменты, пригодные для различных предметных областей. Именно технологии создания математических моделей и будет уделено наибольшее внимание.

Предлагаемая книга основана на материале курсов лекций «Элементы математического моделирования» и «Концепции современного естествознания», которые авторы читают студентам Института математики и фундаментальной информатики Сибирского федерального университета. Идея создания курса лекций «Элементы математического моделирования» принадлежит профессору В. К. Андрееву, заведующему базовой кафедрой математического моделирования и процессов управления Института математики и фундаментальной информатики СФУ. Книга ориентирована в первую очередь на студентов бакалавриата направлений «Прикладная математика и информатика» и «Математика и компьютерные науки».

В результате изучения книги студент должен:

знать

— основные понятия, методы, место и роль математического моделирования в решении научно-практических задач с использованием современного математического аппарата;

уметь

— применять современный математический аппарат моделирования при решении научно-практических задач прикладной математики;

владеть

— навыками решения практических задач с помощью математического моделирования, основываясь на базовых знаниях естественных наук.

Авторы: Зализняк Виктор, Золотов Олег