Введение

Настоящее учебное пособие основано на материалах специаль кого курса «Численные методы решения уравнений математичес кой физики и химии», читаемого студентам факультета кибернети ки химико-технологических процессов Российского химико-тсхно логического университета им. Д. И. Менделеева. В данном курсе изу чаются методы численного решения дифференциальных уравнений на основе разностных схем.

Подавляющее большинство математических моделей физико-хи мических и химико-технологических систем включают в себя диф ференциальные уравнения, описывающие изменение важных пара метров изучаемой системы (температуры, давления, концентрации и т.д.) во времени и пространстве. При решении задач математичес кого моделирования очень часто требуется уметь решать эти уравне ния. При этом лишь в единичных, наиболее простых случаях диффе ренциальные уравнения удаётся решить аналитически. Как прави ло, математические модели включают в себя сложные дифференци аль- ные уравнения или их системы, не поддающиеся аналитическо му решению. В этом случае пользуются численными методами реше ния дифференциальных уравнений, позволяющими найти числен ные значения искомого параметра при определённых значениях пе ременных (времени, координат).

Цель настоящего пособия — помочь читателю овладеть числен ными методами решения дифференциальных уравнений различно го типа и их систем, научиться правильно составлять разностные схемы, проверять их сходимость к истинному решению, определять ошибку аппроксимации.

В результате изучения данного курса студенты должны:

знать

• • сравнительные преимущества и недостатки аналитического и численного подходов к решению математических задач;
• • основные ситуации, в которых требуется использование приближенных методов решения типовых математических задач;
• • сильные и слабые стороны различных численных методов, предназначенных для решения данной типовой математической задачи;

уметь

• • оценивать точность результата, полученного численным методом;
• • выбирать подходящий метод приближенных вычислений (с учетом объема вычислений, необходимых для достижения требуемой точности результата);
• • использовать математический аппарат приближенных вычислений в самостоятельных исследованиях;

владеть

• • методами численного решения типовых математических задач;
• • базовыми навыками реализации численных методов.

Для ознакомления с материалом излагаемого курса помимо дан ного учебного пособия также рекомендуются следующие книги:

• 1. Самарский А. А. Введение в численные методы: учеб, пособие / А. А. Самарский. - СПб.: Лань, 2005.-288 с.
• 2. Самарский А. А. Теория разностных схем: учеб, пособие / А. А. Самарский. - М.: Наука, 1989.-616 с.
• 3. Самарский А. А. Численные методы математической физики / А. А. Самарский,

А. В. Гулин. - М.: Науч. мир, 2000. - 315 с.

• 4. Самарский А. А. Численные методы решения задач конвекции-диффузии / А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич. - М.: УРСС, 2004. - 246 с.
• 5. Самарский А. А. Устойчивость разностных схем / А. А. Самарский, А. В. Гулин. - М.: УРСС, 2005.-383 с.
• 6. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики / Г. И. Марчук. - М.: Наука, 1989. - 608 с.
• 7. Марчук Г. И. Методы расщепления / Г. И. Марчук. - М.: Наука, 1988. - 262 с.
• 8. Рябенький В. С. Введение в вычислительную математику: учеб, пособие/ В. С. Рябенький. - М.: Физматлит, 2000. - 294 с.
• 9. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. - М.: Изд-во МГУ, 2004. - 798 с.
• 10. Самарский А. А. Задачи и упражнения по численным методам / А. А. Самарский,

П. Н. Вабищевич, Е. А. Самарская. - М.: Ком Книга, 2007. - 207 с.

Авторы: Кольцова Элеонора, Скичко Алексей, Женса Андрей