Классификация дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка
Дифференциальные уравнения в частных производных 2-го порядка не имеют единого метода численного решения. Поэтому следует рассмотреть их классификацию, позволяющую использовать
Типы дифференциальных уравнений
|
По количеству независимых переменных |
По наибольшему порядку производной |
||
|
1-го порядка |
2-го порядка |
||
|
Обыкновенные дифференциальные уравнения (искомая функция зависит от одной переменной — времени или координаты) |
и=т |
II |^3 |
|
|
к II Ч н, |
~ = f(x,u) ах |
d2u ,ч — = /(*, W, и ) ах |
|
|
Дифференциальные уравнения в частных производных (искомая функция может зависеть от двух и более переменных) |
и = /(/, х) |
ди ди — + а— = dt дх = /(/,*, и) |
ди д2и — = ст-г+ dt дх2 + /(/,* уиуи'х) |
|
и = /(*. У) |
ди ди — + а— = дх ду = f(x,y,u) |
д2и д2и д7+д?~ = /(хуууиуихУиу) |
|
|
w = /(/,*, у, z) |
ди ди — + ах — + dt х дх ди ди + av— + а. — = у ду ‘ dz = /(/,x,y,z,w) |
ди д2и dt дх2 д2и д2и + Ov-7 + СГ.-- + ' ду2 г dz2 + f(tyxyyyzyuyu'xyu'yyu'2) |
|
единые методы для численного решения каждого из подтипов этих уравнений.
Общий вид дифференциального уравнения 2-го порядка в частных производных при условии, что искомая функция зависит от двух переменных, можно представить следующим образом:
В зависимости от знака величины
дифференциальные уравнения в частных производных 2-го порядка относят к уравнениям:
при D > 0 — гиперболического типа, при D < 0 — эллиптического типа, при D = 0 — параболического типа.
Принадлежность многомерных дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка к тому или иному типу определяют, руководствуясь следующими правилами.
1. Если в уравнении присутствуют производные 2-го порядка по всем независимым переменным и знаки перед ними одинаковые — то данное уравнение относят к уравнениям эллиптического типа, например:
2. Если в уравнении отсутствует производная 2-го порядка хотя бы по одной из независимых переменных — то данное уравнение относят к уравнениям параболического типа, например:
Авторы: Кольцова Элеонора, Скичко Алексей, Женса Андрей
