ВВЕДЕНИЕ

1. Надводную часть «айсберга математического знания» принято делить на три части. Первая из них - главное в математике, доставшееся нам от античности и средневековья, - изучается в довузовской математике. Вторую часть айсберга - высшую математику, созданную в основном за последние 400 лет, - изучают будущие бакалавры, инженеры и магистры. Третья часть, разделенная на специальные дисциплины, основы которых преподаются на математических факультетах, составляет фундамент бурно растущего дерева современной математики. Четких границ между этими тремя частями математики нет, более того, вузовская математика, например, вбирает в себя главные идеи и факты математики элементарной в более глубоком и фундаментальном их изложении.

Что касается подводной части «айсберга математического знания», то там покоятся отдельные сведения, методы и целые теории, которые по каким-либо причинам или уже не нужны, или еще не востребованы и ждут своего приложения или развития. Еще более условным является деление математики на «чистую математику» и «прикладную». Например, трудно оспаривать фундаментальность значения в развитии многих специальных дисциплин «чистой» математики различных обобщений очень «прикладного» утверждения - теоремы Пифагора.

2. Кроме внутренних запросов и собственной логики развития математических дисциплин внешними побудительными мотивами роста математического знания и углубления математических исследований во многих направлениях являются запросы естественных наук и технологий, а также технические возможности решения прикладных задач.

Земледелие и ирригационное строительство, торговля и мореплавание, военное дело и проблемы фортификации во все времена являлись сферой применения математического знания и поставляли задачи для людей, занимающихся наукой. Так, теория вероятностей родилась из запросов о шансе выигрыша, успеха в банковском деле и особенно из попыток создания теории азартных игр. Первые результаты, положившие начало дифференциальной геометрии, были получены Карлом Гауссом при решении задач геодезии и картографии.

Попытки объяснения функционирования биологических, социальных и иных систем заложили начало одной из перспективнейших ветвей математики - кибернетики, науки об управлении, связи и переработке информации. Создание быстродействующих вычислительных машин позволило ставить и решать математическими методами многокомпонентные, многомерные задачи. Бурный расцвет математического моделирования процессов и явлений в технике и в естествознании связан с созданием и совершенствованием компьютеров, компьютерных программ и компьютерных сетей. Наступила эра компьютерной математики, компьютерных технологий и интернета.

• 3. Классическим примером значимости математики для развития фундаментального знания, примером опережающего практику развития математики является исполненное французским астрономом и математиком Ж. Леверье (11.03.1811-23.09.1877) предвычисление координат на небесной сфере неизвестной планеты по ее влиянию на движение планеты Уран. В 1846 году немецкий астроном И. Галле обнаружил эту неизвестную планету, названную впоследствии Нептуном, в указанном Ж. Леверье месте. В этом же ряду открытий «на кончике пера» стоят предсказание электромагнитных волн в 1865 году Д.К. Максвеллом (13.07.1831- 05.11.1879), экспериментально подтвержденное в 1887 году Г. Герцем, теоретическое описание в 1928 году положительного электрона- позитрона, зарегистрированного в потоке космического излучения Андерсеном в 1932 году, и многие другие. Ярким примером нетленности математического знания явилось использование Иоганном Кеплером (27.07.1578-15.11.1630) в расчетах орбиты Марса и других планет теории конических сечений, разработанной более чем за две тысячи лет до того геометрами Древней Греции.
• 4. Р. Курант и Г. Роббинс свою книгу «Что такое математика» начинают фразой: «На протяжении двух с лишним тысячелетий обладание некоторыми, нс слишком поверхностными знаниями в области математики являлось необходимой составной частью интеллектуального багажа каждого образованного человека». Этапы развития государств и общества характеризовались решением трех проблем: кого учить, чему учить, как учить. Математическое знание, математическая культура всегда были и остаются необходимыми составляющими и величайшим достижением цивилизации. Новейшие исследования и достижения в науке, в технологии, в естествознании немыслимы и невозможны как без знания классических методов постановки и решения задач, так и без современных результатов фундаментальных наук и компьютерной реализации решений проблем процессов и явлений.

5. Предлагаемая вниманию читателя небольшая по объему первая часть учебного пособия содержит научные основы высшей математики. За очень малым исключением весь курс высшей математики может быть сведен к теории функций, заданных на отрезке [0, 1], и со значениями во множестве R действительных чисел. И именно поэтому значительное место в книге отводится понятию функции и понятию действительного числа. Исходным при введении этих понятий является понятие множества, причем из структур (групповой, порядка и топологической) значительно большее место отведено двум первым. Из двух возможных вариантов последовательности изложения введения: 1) теория множеств + математическая логика и 2) элементы математической логики + теория множеств, мы выбираем второй, по которому элементы математической логики и в первую очередь алгебру высказываний можно считать введением ко всему остальному материалу. В силу логической неизбежности и методической оправданности в курсе высшей математики мы часто используем принцип последовательного уточнения понятий от начально-школьного до научного. Включенные в текст упражнения и примеры имеют теоретический и иллюстративный характер.

Главы 1, 2 и 4 имеют пропедевтический характер и содержат некоторые элементы альтернативной методологии. В Главах 3 и 5 кроме новой методологии появляются как альтернативное изложение фактов традиционной математики, так и утверждения, не принятые в ней. Так в п. 3.5 корректно вводятся понятия конечного и бесконечного множеств. Имеющая методическое значение Аксиома существования функции сформулирована в п. 3.7, здесь же доказана в рамках наивной теории множеств Аксиома 8 Евклида «И целое больше части». Три последние главы реализуют альтернативную методологию в обосновании, в теории и в приложениях инъективных отображений, числовых последовательностей и числовых рядов. При этом материал излагается в порядке противоположном хронологии его получения, но в соответствии с новой альтернативной идеологией.

6. В Главе 6 введено понятие С-точной пары натуральных переменных, исследованы условия сюръективности инъективных отображений (р: N -> А, найдены характеристические признаки всех шести непересекаю- щихся классов таких отображений, приведены примеры, в том числе дано новое объяснение парадокса Галилео Галилея. В этой же главе, в частности, доказано (Теорема 6.2.5), что не существует биекции между множеством 7V и его собственным подмножеством А с N, и показано (Пример 6.3.5), что остаток г_к гармонического ряда стремится к нулю: Пт г_к =0.

к->оо

В седьмой главе определены понятия е-расходящейся и w- сходящейся числовых последовательностей и доказано (Теорема 7.1.3), что произвольная последовательность Коши является w-сходящейся и удовлетворяет, следовательно, предельному условию: lim(a_H+| - а_п) = 0. Это свойство последовательностей Коши явилось основанием для корректного введения бесконечно больших и бесконечно малых чисел. Описаны некоторые свойства этих чисел, в том числе их алгебра. Некоторые результаты Глав 6 и 7 использованы в Главе 8, где рассмотрены с новой точки зрения начальные понятия теории числовых рядов. В частности из понятий частичной суммы числового ряда и его остатка выделены понятия значений этих сумм. Такой подход позволил доказать ряд новых в теории числовых рядов утверждений: достаточность необходимого признака сходимости числового ряда и независимость сходимости знакопеременного числового ряда от перестановок его слагаемых. Тем самым обобщена теорема Дирихле о сходимости знакоположительных рядов на ряды знакопеременные. Доказано и более общее утверждение (Теорема 8.2.3): если для произвольного числа В из членов сходящегося к числу А знакопеременного ряда (А) построена произвольным образом последовательность (Е*) сумм Е*, последовательность значений S* которых сходится к числу В, то последовательность (г*) получающихся при этом остатков г* сходится к числу А -В. Эти теоремы значимы как в собственно анализе, так и в иных областях математики, например в аналитической теории чисел и др. Примеры 6.3.2 и 8.3.2 и другие утверждают корректность новых понятий в Главах 6-8 и взаимную связь этих глав.

7. Явным предметом дискуссии может быть содержание как Глав 6-8, так и Приложений А, Б и В. Так в первом приложении А обсуждается понятие алгоритма в математике и перечислены некоторые алгоритмы курса высшей математики. Приложение Б содержит мотивировку введения нового символа для неопределенного интеграла и соответствующую этому символу методику введения понятий первообразной и множества первообразных. Основные и новые понятия и термины, а также некоторые символы включены в предметный указатель. Библиография содержит список лишь тех книг и статей, на которые нельзя было не сослаться.

Авторы: Сухотин Александр, Тарбокова Татьяна