Односторонний спектр мощности

Поскольку R(x) — четная функция аргумента т, то соответствующий спектр мощности МД со) представляет собой также четную функцию частоты со. Отсюда следует, что пару преобразований Фурье (3.26) и (3.27) теоремы Винера — Хинчина можно записать, используя лишь интегралы в по- лубесконечных пределах, т.е.

Для последующего анализа удобно ввести односторонний спектр мощности случайного процесса, определив его следующим образом:

Функция одностороннего спектра мощности /Дсо) позволяет вычислить дисперсию стационарного случайного процесса путем интегрирования по положительным частотам:

На основании проведенного в рамках спектральной теории анализа двух видов сигналов — детерминированного и стационарного эргодического случайного — можно провести их сравнение. Во-нервых, к обоим сигналам подходят и спектральный, и временной анализ. Во-вторых, базовыми соотношениями для детерминированного сигнала, устанавливающими связь между спектральной и временной характеристиками, являются прямое и обратное преобразования Фурье, определяемые формулами (2.29), (2.30). Для случайного сигнала, относящегося к классу стационарных эргодических процессов, такими фундаментальными соотношениями, устанавливающими связь энергетического спектра и корреляционной функции, являются формулы Випера — Хинчина (3.26) и (3.27).

При внешнем сходстве формул преобразований Фурье (2.29), (2.30) и теоремы Випера — Хинчина (3.26), (3.27), надо иметь в виду их принципиальные отличия. Так, обратное преобразование Фурье (2.30) позволяет по спектральной плотности найти единственный соответствующий ей импульсный сигнал. Определить же временную форму случайного сигнала но спектру мощности по формуле Винера — Хинчина (3.26) невозможно. Это связано с тем, что в спектре мощности случайного процесса неизвестны начальные фазы спектральных составляющих. Одинаковый спектр мощности могут иметь совершенно разные детерминированный и случайный сигналы.

Отмеченное демонстрируется па рис. 3.15: показаны временные реализации x(t) двух случайных процессов (рис. 3.15, а, б), соответствующие им корреляционные функции R(т) (рис. 3.15, в, г) и спектры мощностей Щсо) (рис. 3.15, д, е).

Следует отметить и такое различие между энергетическим спектром 1У_и(со) детерминированного импульсного сигнала u(t) и спектром мощности U⁷(со) стационарного случайного процесса X(t). Если функция 1Е_п(со) характеризует распределение энергии импульсного сигнала по оси частот [В²-с)/Гц], то функция 1Е(со) — распределение мощности случайного сигнала но оси частот [В²-с)/рад|.

Рис. 3.15. Случайные процессы и взаимосвязь их характеристик:

а, 6 — реализации; «, г. — корреляционные функции; д, е — спектры мощностей

Пример 3.5

Определим функцию корреляции стационарного случайного процесса, имеющего спектральную плотность мощности, распределенную по нормальному закону, причем при со = 0 W = Е₀ (рис. 3.16, а).

Рис. 3.16. Гауссовский характер параметров случайного процесса:

а — спектр мощности; 6 — функция корреляции

Решение

Поскольку спектр мощности описывается четной функцией, то в соответствии с формулой (3.29) запишем

Итак, при нормальном распределении спектра мощности случайного процесса функция корреляции имеет тот же характер распределения (рис. 3.16, б) и при х = 0:

Пример 3.6

Вычислим спектр мощности случайного стационарного процесса, функция корреляции которого равномерна на заданном интервате (рис. 3.17, а):

Рис. 3.17. Характеристики случайного процесса:

а — равномерная функция корреляции; б — спектр мощности Решение

Используя формулу (3.30), получим

Спектр мощности показан на рис. 3.17, б, из которого следует, что его распределение совпадает со спектральной плотностью прямоугольного импульса.

Авторы: Сигов Александр, Нефедов Виктор