Разностная схема Кранка—Николсона

Вывод разностной схемы Кранка-Николсона

Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа с начальным и граничными условиями:

Запишем для уравнения (4.17) разностную схему, представляя вторую производную функции u(t_y х) по координате х в виде суммы двух слагаемых

и аппроксимируя первое слагаемое на п-м шаге по времени, а второе — на (п + 1)-м шаге по времени:

Данная разностная схема называется разностной схемой Кранка- Николсона в честь авторов, создавших её.

Деление производной д²и/дх² пополам с аппроксимацией одной половины на л-м шаге по времени, а другой — на (л + 1)-м шаге, указывает на то, что аппроксимацию этой производной в целом следует рассматривать на шаге по времени (п + 1/2). В то же время конечная разность, аппроксимирующая производную по времени, по отношению к точке (л + 1/2) является центральной конечной разностью, имеющей второй порядок аппроксимации (см. раздел 2.2.2). Следовательно, разностная схема Кранка-Николсона аппроксимирует уравнение (4.17) со вторым порядком и по времени, и по координате:

Таким образом, порядок аппроксимации разностной схемы Кранка-Николсона выше, чем порядок аппроксимации явной и неявной разностных схем; т.е. результаты, получаемые при использовании разностной схемы Кранка-Николсона, будут более точными.

Исследуем устойчивость разностной схемы Кранка-Николсона (4.18) с помощью спектрального метода. Для этого отбрасываем член f(tⁿ, X j ) , наличие которого не оказывает влияния на устойчивость разностной схемы, и представляем решение в виде гармоники (3.7):

Упрощаем полученное выражение, деля левую и правую его части наГе'^а':

Используя зависимости (3.9), (3.10), получаем формулу из которой выражаем X:

Видно, что в полученном выражении числитель по абсолютному значению меньше знаменателя (при а > 0). Следовательно, необходимое условие устойчивости разностных схем (3.8) в данном случае выполняется при любых значениях At и h; то есть разностная схема Кранка-Николсона (4.18) является абсолютно устойчивой.

Метод решения разностной схемы Кранка-Николсона

Рис. 4.5. Разностный шаблон схемы Кранка-Николсона

Разностный шаблон (рис. 4.5), характеризующий разностную схему Кранка-Николсона (4.18), свидетельствует о том, что она содержит три неизвестные величины — значения функции u(t> х) на (п + 1)-м шаге по времени. Следовательно, для решения данной разностной схемы необходимо использовать метод прогонки. Методики определения прогоноч- ных коэффициентов и решения на правой границе, а также общий вид алгоритма решения в данном случае будут такими же, как и для неявной разностной схемы (4.6). Однако достаточное условие сходимости прогонки (4.16) требует проверки.

Приведём выражение (4.18) к виду (4.10), удобному для использования метода прогонки:

Следовательно, коэффициенты, соответствующие уравнению (4.10), имеют вид:

Легко видеть, что для разностной схемы (4.18) достаточное условие сходимости прогонки выполняется:

Авторы: Кольцова Элеонора, Скичко Алексей, Женса Андрей