Разностная схема Саульева

Вывод разностной схемы Саульева

Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа с начальным и граничными условиями:

(4.19)

Представим разностный оператор (2.12), аппроксимирующий производную д²и/дх² , в следующем виде:

Аппроксимируя первую дробь числителя в выражении (4.20) на п-м шаге по времени, а вторую дробь и свободный член в уравнении

(4.19) — на (п + 1)-м шаге по времени, получим соотношение:

или, упрощая,

Соотношение (4.21) не аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение (4.19). Поэтому рассмотрим следующий шаг по времени на разностной сетке:

Аппроксимируя на этот раз первую дробь числителя в выражении

(4.20) на (п + 2)-м шаге по времени, а вторую дробь и свободный член в уравнении (4.19) — на (п 4- 1)-м шаге по времени, получим соотношение:

или, упрощая,

Соотношение (4.22) также не аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение (4.19). Однако в совокупности выражения (4.21) и (4.22) составляют разностную схему, называемую в честь её автора, разностной схемой Саульева. Сами выражения (4.21) и (4.22) называют первой и второй ступенями разностной схемы Саульева, соответственно.

Характеристика разностной схемы Саульева Рассмотрим сумму соотношений (4.21) и (4.22), делённую пополам:

Разложим значения и^п+2, и^п- в ряд Тейлора относительно точ- ки

Исходя из этих соотношений, среднее арифметическое значений м”⁺², и”!, используемое в (4.23), можно аппроксимировать значением и?¹ со вторым порядком аппроксимации но времени:

Подставляя данную формулу в (4.23), получаем:

Разностный оператор, стоящий в левой части выражения (4.24), по отношению к точке (/^Л+|, х* ) , т.е. к точке, для которой записана правая часть этого же выражения, является центральной конечной разностью, имеющей второй порядок аппроксимации (см. раздел 2.2.2). Следовательно, разностная схема Саульева аппроксимирует уравнение (4.19) со вторым порядком и по времени, и по координате:

Однако второе слагаемое в правой части выражения (4.24) вносит дополнительный вклад в ошибку аппроксимации. Поэтому реально точность результатов, получаемых при использовании разностной схемы Саульева, будет зависеть от выбора величин шагов по времени и координате х_у а точнее от порядка отношения At/h. При Д t ~ h² погрешность, вносимая вторым слагаемым в правой части выражения (4.24), будет сопоставима с погрешностью, вносимой аппроксимацией производных. Если же Д t ~ h , то точных результатов мы не получим.

Завершая анализ погрешности, создаваемой разностной схемой Саульева, и переходя к рассмотрению метода её решения, следует отметить, что данная разностная схема является абсолютно устойчивой (примем этот факт без доказательства), однако её аппроксимация сама накладывает ограничение на выбор интервала деления на разностной сетке.

Авторы: Кольцова Элеонора, Скичко Алексей, Женса Андрей