Метод решения разностной схемы Саульева

Разностный шаблон (рис. 4.6), характеризующий первую ступень разностной схемы Саульева, свидетельствует о том, что выражение (4.21) содержит две неизвестные величины — значения функции u{t, х) на (л + 1)-м шаге по времени w"+ , То есть для определения величины и91, необходимо знать значение функции u(t, х) в соседней слева точке на разностной сетке. Определяя и j из левого граничного условия (4.19) и выражая Uj из соотношения (4.21):

Рис. 4.6. Разностный шаблон первой ступени схемы Саульева

Рис. 4.7. Разностный шаблон второй ступени схемы Саульева

можно последовательно рассчитать значения функции u(t, х) на (п + 1)-м шаге по времени j = 2,...» N -1. Если вместо граничных условий 1-го рода (4.19) будут заданы граничные условия 2-го или 3-го рода, то для определения величины ц”*¹ необходимо решить систему двух уравнений: разностной аппроксимации левого граничного условия на (п + 1)-м шаге по времени и рекуррентного соотно-

-,1

шения (4.25) при j = 2. Значение u_N определяется из правого граничного условия.

Разностный шаблон (рис. 4.7), характеризующий вторую ступень разностной схемы Саульева, свидетельствует о том, что выражение (4.22) содержит две неизвестные величины — значения функции u(t, х) на (п + 2)-м шаге по времени и"*² , . То есть для определе

ния величины _и^п;² необходимо знать значение функции u(t> х) в соседней справа точке на разностной сетке. Определяя u)из правого граничного условия (4.19) и выражая w”⁺² из соотношения (4.22):

можно последовательно рассчитать значения функции u(f, х) на (п + 2)-м шаге по времени и"⁺², j — N — 1,..., 2. В случае, если заданы граничные условия 2-го или 3-го рода, для определения величины u"J² необходимо решить систему двух уравнений: разно-

Рис. 4.8. Блок-схема решения разностной схемы Саульева стной аппроксимации правого граничного условия на (п + 2)-м шаге по времени и рекуррентного соотношения (4.26) при j — N — 1. Значение и|*⁺² определяется из левого граничного условия.

Таким образом, метод решения разностной схемы Саульева существенно проще метода решения неявной разностной схемы и разностной схемы Кранка-Николсона (т.е. метода прогонки). Однако следует обратить внимание, что поскольку выражения (4.21) и (4.22) по отдельности не аппроксимируют исходное дифференциальное уравнение (4.19), оценка погрешности значений функции u(t, х) на (п + 1)-м шаге по времени не представляется возможной. Близость к истинным значениям может быть гарантирована только для значений функции u(t, х) на (п + 2)-м шаге по времени, поэтому заданный временной интервал должен быть изначально разделён на чётное число частей (шагов).

На рис. 4.8 приведён алгоритм (в виде блок-схемы) решения разностной схемы Саульева (4.21), (4.22), аппроксимирующей одномерное дифференциальное уравнение параболического типа (4.19).

Сравнительная характеристика изученных разностных схем

В заключение приведём сравнительную характеристику разностных схем, аппроксимирующих одномерное дифференциальное уравнение параболического типа:

1. Явная разностная схема

• - Имеет порядок аппроксимации 0(А/, h^[1]).
• - Условно устойчива Д / < ——.
• 2 а
• - Решается с помощью рекуррентного соотношения (4.4).
• - Имеет порядок аппроксимации (9( А/, h ).
• - Абсолютно устойчива.
• - Решается методом прогонки.
• 3. Разностная схема Кранка-Николсона

• - Имеет порядок аппроксимации 0(At², h² ).
• - Абсолютно устойчива.
• - Решается методом прогонки.
• 4. Разностная схема Саульева

• - Имеет порядок аппроксимации 0(At², И²) при А/ ~ Л².
• - Абсолютно устойчива.
• - Решается с помощью рекуррентных соотношений (4.25) и (4.26).

Авторы: Кольцова Элеонора, Скичко Алексей, Женса Андрей

• [1] Неявная разностная схема